1、题目

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

示例 3：

输入：amount = 10, coins = [10] 
输出：1

提示：

• 1 <= coins.length <= 300
• 1 <= coins[i] <= 5000
• coins 中的所有值 互不相同
• 0 <= amount <= 5000

2、思路

(动态规划，完全背包)

二维分析

状态表示：f[i][j] 表示从前i种硬币中选，且总金额恰好为j的所有选法集合的方案数。

那么f[n][amount]就表示表示从前n种硬币中选，且总金额恰好为amount的所有选法集合的方案数，即为答案。

集合划分：

按照第i种硬币可以选 0个,1个，2个，3个，，，，k个划分集合 f[i][j]。其中k/*coin[i] <= j，也就是说在背包能装下的情况下，枚举第i种硬币可以选择几个。

• 第i种硬币选 0个，f[i][j] = f[i-1][j]
• 第i种硬币选 1个，f[i][j] = f[i-1][j - coins[i]]
• 第i种硬币选 k个，f[i][j] = f[i-1][j - k/*coins[i]]

状态计算：

f[i][j] = f[i-1][j]+f[i-1][j-coins[i]]+f[i-1][j-2/*coins[i]],,,,,,+f[i-1][j-k/*coins[i]] 。
初始化条件：

• f[0][0] = 1，使用0种硬币币，凑0元钱，也是一种方案。

**时间复杂度分析：**O ( a m o u n t 2 ∗ n ) O(amount^2/*n)O(amount2∗n)，其中 a m o u n t amountamount是总金额，n nn是数组 c o i n s coinscoins的长度。

3、二维c++代码

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        int n = coins.size();
        vector<vector<int>>f(n + 1, vector<int>(amount + 1 , 0));
        f[0][0] = 1;  // 使用0种货币，凑0元钱,也是一种方案
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int v =coins[i - 1];
            for(int j = 0; j <= amount; j++)
                 for(int k = 0; k*v <= j; k++)
                   f[i][j] += f[i-1][j-k*v];    //状态计算方程
        }
        return f[n][amount];        
    }
};

4、二维java代码

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int n = coins.length;
        int[][] f = new int[n + 1][amount + 1];
        f[0][0] = 1;   // 使用0种货币，凑0元钱,也是一种方案
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int v = coins[i - 1];
            for (int j = 0; j <= amount; j++) 
                for (int k = 0; k * v <= j; k++) 
                    f[i][j] += f[i - 1][j - k * v];  //状态计算方程
        }
        return f[n][amount];
    }
}

5、一维优化

二维完全背包求解方案时间复杂度较高，考虑一维优化。

v代表第i种硬币的面值

f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j-v]+f[i-1][j-2v]+,,,,,+f[i-1][j-kv])

f[i][j-v] = f[i-1,[j-v]+f[i-1][j-2v]+,,,,,+f[i-1][j-kv])

因此：

f[i][j] = f[i-1][j]+f[i][j-v])

图示：

去掉物品种类维度，状态计算方程为：f[j] = f[j] + f[j-v]

**时间复杂度分析：**O ( a m o u n t ∗ n ) O(amount/*n)O(amount∗n) ，其中 a m o u n t amountamount是总金额，n nn是数组 c o i n s coinscoins的长度。

6、一维c++代码

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int>f(amount + 1);
        f[0] = 1; //f[0][0] = 1;
        for(int i = 1; i <= coins.size(); i++)
        {
            int v =coins[i - 1];
            for(int j = v; j <= amount; j++)
                f[j] += f[j - v];
        }
        return f[amount];        
        
    }
};

7、一维java代码

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[] f = new int[amount + 1];
        f[0] = 1; //f[0][0] = 1;
        for(int i = 1; i <= coins.length; i++)
        {
            int v =coins[i - 1];
            for(int j = v; j <= amount; j++)
                f[j] += f[j - v];
        }
        return f[amount];       
    }
}

原题链接：518. 零钱兑换 II