分形，具有以非整数维形式充填空间的形态特征。通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。分形（Fractal）一词，是芒德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义。1973年，芒德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形的设想。
　　分形是一个数学术语，也是一套以分形特征为研究主题的数学理论。分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科，是研究一类现象特征的新的数学分科，相对于其几何形态，它与微分方程与动力系统理论的联系更为显著。分形的自相似特征可以是统计自相似，构成分形也不限于几何形式，时间过程也可以，故而与鞅论关系密切。
　　分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界普遍存在，因此分形几何学又被称为描述大自然的几何学。分形几何学建立以后，很快就引起了各个学科领域的关注。不仅在理论上，而且在实用上分形几何都具有重要价值。

——摘自百度百科

自然界中的分形几何
 

人为的分形图案

分形树是分形几何中的一小种类型，一棵分形树相当于一棵“满二叉树”。通常都用递归来实现，递归条件通常分两派，一派是用长度递减，直到长度不满足某个条件时退出；另一派则是按层数来递归，相当于“满二叉树”的层序遍历。前一派的长度递归相当于“满二叉树”的先序遍历，从根出发先左子树后右子树，每一棵子树都按这种“先根后左右”的顺序遍历。举个例子：

源代码：

import turtle

def bintree(size):
    angle = 60    # 分叉的角度
    if size > 5:    # 长度退出条件
        turtle.forward(size)
        turtle.left(angle)
        bintree(size / 1.6)
        turtle.right(angle*2)
        bintree(size / 1.6)
        turtle.left(angle)
        turtle.backward(size)

def main():
    turtle.speed(0)
    turtle.hideturtle()
    turtle.penup()
    turtle.left(90)
    turtle.backward(100)
    turtle.showturtle()
    turtle.pendown()
    turtle.pensize(2)
    turtle.color('green')
    bintree(150)
    turtle.done()

if __name__ == '__main__':

    main()

以上代码中长度以等比数列递减，公比1/1.6；当然也可以改成等差数列形式。此方式缺点树的层数不能直接控制，需要用初始长度、递减公式和退出条件来计算得出。

勾股树，其实就是分形树的一种，只是不像上例一样简单地画2个分叉，而是画直角三角形加上各边上的正方形，就像平面几何中勾股定理证明时画的示意图。

以下是我用Turtle库画的一棵12层的对称勾股树，使用“层序遍历”方式：

根据二叉树的性质可知：12层的树会有 2^12 - 1 个正方形以及同样数量的三角形。时间复杂度为指数级，在关掉画笔踪迹开关的情况下画完此时耗时43秒。

简单点，就用一个6层的来示意一下其“层序”的过程：

源代码：

from turtle import *

def Square(self,length):
    for _ in range(5):
        self.forward(length)
        self.right(90)

def Triangle(self,length):
    self.left(45)
    self.forward(length/2**0.5)
    self.right(90)
    self.forward(length/2**0.5)
    self.right(135)
    self.forward(length)

def Move2Right(self,length):
    self.back(length)
    self.right(45)
    self.forward(length/2**0.5)
    self.right(90)
 
def Recursive(n, tracer, length):
    if n<1: return
    tracers = []
    for left in tracer:
        if n<3: left.pencolor('green')
        else: left.pencolor('brown')
        Square(left, length)
        Triangle(left, length)
        right = left.clone()
        left.right(45)
        Move2Right(right, length)
        tracers.append(left)
        tracers.append(right)
    Recursive(n-1, tracers, length/2**0.5)
    
def Setup(self, length, speed):
    self.hideturtle()
    self.speed(speed)
    self.penup()
    self.goto(-length*0.5, -length*1.8)
    self.seth(90)
    self.pensize(2)
    self.pendown()

def main(level, length, speed=-1):
    setup(800,600)
    title('Fractal Tree')
    if speed==-1: tracer(0)
    else: tracer(1)
    t = Turtle()
    Setup(t, length, speed)
    from time import sleep
    sleep(2)
    Recursive(level, list([t]), length)
    done()
    bye()

if __name__ == '__main__':
    
    main(6,150,10)

主函数： main(level, length, speed=-1)

参数：
level: 树的层数
length: 最底层正方形的边长
speed: 1~10，画笔速度递增；=0时速度最快；=-1时关闭画笔踪迹。

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本篇完，其他分形图待继......