给定一个数字,我们按照如下规则把它翻译为字符串:0 翻译成 “a” ,1 翻译成 “b”,……,11 翻译成 “l”,……,25 翻译成 “z”。一个数字可能有多个翻译。请编程实现一个函数,用来计算一个数字有多少种不同的翻译方法。
示例 1:
输入: 12258
输出: 5
解释: 12258有5种不同的翻译,分别是"bccfi", "bwfi", "bczi", "mcfi"和"mzi"
提示:
0 <= num < 2^31
**(动态规划)**O ( l o g n ) O(logn)O(logn)
给定我们一个数字num
,按照题目所给定的规则将其翻译成字符串,问一个数字有多少种不同的翻译方法。
样例:
我们先来理解一下题目的翻译规则,如样例所示,num = 12258
,可以分为两种情况:
"bccfi"
。10 ~ 25
之间),因此可以翻译成"bwfi"
, "bczi"
, "mcfi"和"mzi"
。两种情况是或的关系,互不影响,将其相加,那么12258
共有5
种不同的翻译方式。为了可以很方便的将数字的相邻两位组合起来,我们可以先将数字num
转化成字符串数组s[]
,下面来讲解动态规划的做法。
状态表示:
我们定义f[i]
表示前i
个数字一共有多少种不同的翻译方法。那么,f[n]
就表示前n
个数字一共有多少种不同的翻译方法,即为答案。
状态计算:
假设字符串数组为s[]
,对于第i
个数字,分成两种决策:
s[i]
。由于求的是方案数,如果确定了第i
个数字的翻译方式,那么翻译前i
个数字和翻译前i - 1
个数的方法数就是相同的,即f[i] = f[i - 1]
。(s[]
数组下标从1
开始)2、将s[i]
和s[i - 1]
组合起来翻译(组合的数字范围在10 ~ 25
之间)。如果确定了第i
个数和第i - 1
个数的翻译方式,那么翻译前i
个数字和翻译前i - 2
个数的翻译方法数就是相同的,即f[i] = f[i - 2]
。(s[]
数组下标从1
开始)
最后将两种决策的方案数加起来,因此,状态转移方程为:f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]
。
初始化:
f[0] = 1
,翻译前0
个数的方法数为1
。
为什么一个数字都没有的方案数是1
?
f[0]
代表翻译前0
个数字的方法数,这样的状态定义其实是没有实际意义的,但是f[0]
的值需要保证边界是对的,即f[1]
和f[2]
是对的。比如说,翻译前1
个数只有一种方法,将其单独翻译,即f[1] = f[1 - 1] = 1
。翻译前两个数,如果第1
个数和第2
个数可以组合起来翻译,那么f[2] = f[1] + f[0] = 2
,否则只能单独翻译第2
个数,即f[2] = f[1] = 1
。因此,在任何情况下f[0]
取1
都可以保证f[1]
和f[2]
是正确的,所以f[0]
应该取1
。
实现细节:
我们将数字num
转为字符串数组s[]
,在推导状态转移方程时,假设的s[]
数组下标是从1
开始的,而实际中的s[]
数组下标是从0
开始的,为了一 一对应,在取组合数字的值时,要把s[i - 1]
和 s[i]
的值往前错一位,取s[i - 1]
和s[i - 2]
,即组合值t = (s[i - 2] - '0') /* 10 + s[i - 1] - '0'
。
在推导状态转移方程时,一般都是默认数组下标从1
开始,这样的状态表示可以和实际数组相对应,理解起来会更清晰,但在实际计算中要错位一下,希望大家注意下。
**时间复杂度分析:**O ( l o g n ) O(logn)O(logn),计算的次数是nums
的位数,即logn
,以10
为底。
**空间复杂度分析:**O ( n ) O(n)O(n)。
class Solution {
public:
int translateNum(int num) {
string s = to_string(num); //将数字转为字符串
int n = s.size();
vector<int> f(n + 1);
f[0] = 1; //初始化
for(int i = 1; i <= n; i++){
f[i] = f[i - 1]; //单独翻译s[i]
if(i > 1){
int t = (s[i - 2] - '0') * 10 + s[i - 1] - '0';
if(t >= 10 && t <= 25) //组合的数字范围在10 ~ 25之间
f[i] += f[i - 2]; //将s[i] 和 s[i - 1]组合翻译
}
}
return f[n];
}
};
class Solution {
public int translateNum(int num) {
String s = String.valueOf(num); // 将数字转为字符串
int n = s.length();
int[] f = new int[n + 1];
f[0] = 1; //初始化
for(int i = 1; i <= n; i++){
f[i] = f[i - 1]; //单独翻译s[i]
if(i > 1){
int t = (s.charAt(i - 2) - '0') * 10 + s.charAt(i - 1) - '0';
if(t >= 10 && t <= 25) //组合的数字范围在10 ~ 25之间
f[i] += f[i - 2]; //将s[i] 和 s[i - 1]组合翻译
}
}
return f[n];
}
}
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