红黑树的基本性质

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一、对红黑树的基本理解

（一）对红黑树的基本定义理解

红黑树的英文是“Red-Black Tree”，简称 R-B Tree，它是一种不严格的平衡二叉查找树

红黑树中的节点，一类被标记为黑色，一类被标记为红色。除此之外，一棵红黑树还需要满足这样几个要求：

  • 根节点是黑色的；
  • 每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL），也就是说，叶子节点不存储数据（图中将黑色的、空的叶子节点都省略掉了）；
  • 任何相邻的节点都不能同时为红色，也就是说，红色节点是被黑色节点隔开的；
  • 每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点；

（二）对红黑树是“近似平衡”的理解

平衡二叉查找树的初衷，是为了解决二叉查找树因为动态更新导致的性能退化问题。所以，“平衡”的意思可以等价为性能不退化。“近似平衡”就等价为性能不会退化的太严重。

一棵极其平衡的二叉树（满二叉树或完全二叉树）的高度大约是 log2n，所以如果要证明红黑树是近似平衡的，只需要分析，红黑树的高度是否比较稳定地趋近 log2n 就好了。

1.将红色节点从红黑树中去掉，分析包含黑色节点的红黑树的高度

红色节点删除之后，有些节点就没有父节点了，它们会直接拿这些节点的祖父节点（父节点的父节点）作为父节点。所以，之前的二叉树就变成了四叉树。

从四叉树中取出某些节点，放到叶节点位置，四叉树就变成了完全二叉树。所以，仅包含黑色节点的四叉树的高度，比包含相同节点个数的完全二叉树的高度还要小。

完全二叉树的高度近似 log2n，这里的四叉“黑树”的高度要低于完全二叉树，所以去掉红色节点的“黑树”的高度也不会超过 log2n。

2.把红色节点加回去，分析高度变化

在红黑树中，红色节点不能相邻，也就是说，有一个红色节点就要至少有一个黑色节点，将它跟其他红色节点隔开。

红黑树中包含最多黑色节点的路径不会超过 log2n，所以加入红色节点之后，最长路径不会超过 2log2n，也就是说，红黑树的高度近似 2log2n。

所以，红黑树的高度只比高度平衡的 AVL 树的高度（log2n）仅仅大了一倍，在性能上，下降得并不多。这样推导出来的结果不够精确，实际上红黑树的性能更好。

（三）红黑树与AVL树的比较：

  • AVL树的时间复杂度虽然优于红黑树，但是对于现在的计算机，cpu太快，可以忽略性能差异
  • 红黑树的插入删除比AVL树更便于控制操作
  • 红黑树整体性能略优于AVL树（红黑树旋转情况少于AVL树）

二、实现红黑树的基本思想分析

红黑树的平衡过程跟魔方复原非常神似，大致过程就是：遇到什么样的节点排布，我们就对应怎么去调整。只要按照这些固定的调整规则来操作，就能将一个非平衡的红黑树调整成平衡的。

如上，一棵合格的红黑树需要满足的四个基本要求中，在插入、删除节点的过程中，第三、第四点要求可能会被破坏，而“平衡调整”实际上就是要把被破坏的第三、第四点恢复过来。具体分析如下：

（一）理解左旋（rotate left）、右旋（rotate right）操作

左旋就是围绕某个节点的左旋，图中的 a，b，r 表示子树，可以为空。

具体代码实现：

1. /**
1. * 功能描述：左旋右侧需要平衡
1. *
1. * @author yanfengzhang
1. * @date 2020-05-27 14:57
1. */
1. private 
       void 
       rotateLeft
       (Entry<K, V> p) {
1. if (p != 
       null) {
1. /*拿到根节点的右子节点 */
1. Entry<K, V> r = p.right;
1. /*把根节点的右子节点的左节点，赋值*/
1. p.right = r.left;
1. if (r.left != 
       null)
1. /*将根节点这个值赋值到当前断开的跟节点上*/ {
1. r.left.parent = p;
1. }
1. /*r 将来要成为新的根节点 p.parent 为根 ，使得他为新的跟节点 */
1. r.parent = p.parent;
1. if (p.parent == 
       null) {
1. root = r;
1. }
1. /*如果p 为左孩子，让他还是成为左孩子 同理*/
1. else 
       if (p.parent.left == p) {
1. p.parent.left = r;
1. } 
       else {
1. p.parent.right = r;
1. }
1. /*最后 将当前交换的跟换值*/
1. r.left = p;
1. p.parent = r;
1. }
1. }

右旋就是围绕某个节点的右旋，图中的 a，b，r 表示子树，可以为空。

具体代码实现：

1. /**
1. * 功能描述：右旋代码
1. *
1. * @author yanfengzhang
1. * @date 2020-05-27 14:58
1. */
1. private 
       void 
       rotateRight
       (Entry<K, V> p) {
1. if (p != 
       null) {
1. Entry<K, V> l = p.left;
1. p.left = l.right;
1. if (l.right != 
       null) {
1. l.right.parent = p;
1. }
1. l.parent = p.parent;
1. if (p.parent == 
       null) {
1. root = l;
1. } 
       else 
       if (p.parent.right == p) {
1. p.parent.right = l;
1. } 
       else {
1. p.parent.left = l;
1. }
1. l.right = p;
1. p.parent = l;
1. }
1. }

（二）插入操作的平衡调整

红黑树规定，插入的节点必须是红色的。而且，二叉查找树中新插入的节点都是放在叶子节点上。

关于插入操作的平衡调整，有这样两种特殊情况：

  • 如果插入节点的父节点是黑色的，那我们什么都不用做，它仍然满足红黑树的定义。
  • 如果插入的节点是根节点，那我们直接改变它的颜色，把它变成黑色就可以了。

除此之外，其他情况都会违背红黑树的定义，需要进行调整，调整的过程包含两种基础的操作：左右旋转和改变颜色。

红黑树的平衡调整过程是一个迭代的过程。把正在处理的节点叫作关注节点。关注节点会随着不停地迭代处理，而不断发生变化。最开始的关注节点就是新插入的节点。新节点插入之后，如果红黑树的平衡被打破，那一般会有下面三种情况：

备注：我们只需要根据每种情况的特点，不停地调整，就可以让红黑树继续符合定义，也就是继续保持平衡。为了简化描述，把父节点的兄弟节点叫作叔叔节点，父节点的父节点叫作祖父节点。

情况一：如果关注节点是 a，它的叔叔节点 d 是红色

具体操作为：将关注节点 a 的父节点 b、叔叔节点 d 的颜色都设置成黑色；将关注节点 a 的祖父节点 c 的颜色设置成红色；关注节点变成 a 的祖父节点 c；跳到情况二或者情况三。

情况二：如果关注节点是 a，它的叔叔节点 d 是黑色，关注节点 a 是其父节点 b 的右子节点

具体操作为：关注节点变成节点 a 的父节点 b；围绕新的关注节点b 左旋；跳到情况三。

情况三：如果关注节点是 a，它的叔叔节点 d 是黑色，关注节点 a 是其父节点 b 的左子节点

具体操作为：围绕关注节点 a 的祖父节点 c 右旋；将关注节点 a 的父节点 b、兄弟节点 c 的颜色互换，调整结束。

以上具体代码如下：

1. /**
1. * 功能描述：插入一个节点
1. *
1. * @author yanfengzhang
1. * @date 2020-05-27 15:07
1. */
1. private 
       void 
       insert
       (RBTreeNode<T> node) {
1. int cmp;
1. RBTreeNode<T> root = 
       this.rootNode;
1. RBTreeNode<T> parent = 
       null;
1. 
1. /*定位节点添加到哪个父节点下*/
1. while (
       null != root) {
1. parent = root;
1. cmp = node.key.compareTo(root.key);
1. if (cmp < 
       0) {
1. root = root.left;
1. } 
       else {
1. root = root.right;
1. }
1. }
1. 
1. node.parent = parent;
1. /*表示当前没一个节点，那么就当新增的节点为根节点*/
1. if (
       null == parent) {
1. this.rootNode = node;
1. } 
       else {
1. //找出在当前父节点下新增节点的位置
1. cmp = node.key.compareTo(parent.key);
1. if (cmp < 
       0) {
1. parent.left = node;
1. } 
       else {
1. parent.right = node;
1. }
1. }
1. 
1. /*设置插入节点的颜色为红色*/
1. node.color = COLOR_RED;
1. 
1. /*修正为红黑树*/
1. insertFixUp(node);
1. }
1. 
1. /**
1. * 功能描述：红黑树插入修正
1. *
1. * @author yanfengzhang
1. * @date 2020-05-27 15:07
1. */
1. private 
       void 
       insertFixUp
       (RBTreeNode<T> node) {
1. RBTreeNode<T> parent, gparent;
1. /*节点的父节点存在并且为红色*/
1. while (((parent = getParent(node)) != 
       null) && isRed(parent)) {
1. gparent = getParent(parent);
1. 
1. /*如果其祖父节点是空怎么处理, 若父节点是祖父节点的左孩子*/
1. if (parent == gparent.left) {
1. RBTreeNode<T> uncle = gparent.right;
1. if ((
       null != uncle) && isRed(uncle)) {
1. setColorBlack(uncle);
1. setColorBlack(parent);
1. setColorRed(gparent);
1. node = gparent;
1. continue;
1. }
1. 
1. if (parent.right == node) {
1. RBTreeNode<T> tmp;
1. leftRotate(parent);
1. tmp = parent;
1. parent = node;
1. node = tmp;
1. }
1. 
1. setColorBlack(parent);
1. setColorRed(gparent);
1. rightRotate(gparent);
1. } 
       else {
1. RBTreeNode<T> uncle = gparent.left;
1. if ((
       null != uncle) && isRed(uncle)) {
1. setColorBlack(uncle);
1. setColorBlack(parent);
1. setColorRed(gparent);
1. node = gparent;
1. continue;
1. }
1. 
1. if (parent.left == node) {
1. RBTreeNode<T> tmp;
1. rightRotate(parent);
1. tmp = parent;
1. parent = node;
1. node = tmp;
1. }
1. 
1. setColorBlack(parent);
1. setColorRed(gparent);
1. leftRotate(gparent);
1. }
1. }
1. setColorBlack(
       this.rootNode);
1. }

（三）删除操作的平衡调整

删除操作的平衡调整分为两步：

第一步是针对删除节点初步调整。初步调整只是保证整棵红黑树在一个节点删除之后，仍然满足最后一条定义的要求，也就是说，每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点；

第二步是针对关注节点进行二次调整，让它满足红黑树的第三条定义，即不存在相邻的两个红色节点。

1.针对删除节点初步调整

红黑树的定义中“只包含红色节点和黑色节点”，经过初步调整之后，为了保证满足红黑树定义的最后一条要求，有些节点会被标记成两种颜色，“红 - 黑”或者“黑 - 黑”。如果一个节点被标记为了“黑 - 黑”，那在计算黑色节点个数的时候，要算成两个黑色节点。

备注：如果一个节点既可以是红色，也可以是黑色，图中用一半红色一半黑色来表示。如果一个节点是“红 - 黑”或者“黑 - 黑”，图中用左上角的一个小黑点来表示额外的黑色。

情况一：如果要删除的节点是 a，它只有一个子节点 b

具体操作为：删除节点 a，并且把节点 b 替换到节点 a 的位置，这一部分操作跟普通的二叉查找树的删除操作一样；节点 a 只能是黑色，节点 b 也只能是红色，其他情况均不符合红黑树的定义。这种情况下，我们把节点 b 改为黑色；调整结束，不需要进行二次调整。

情况二：如果要删除的节点 a 有两个非空子节点，并且它的后继节点就是节点 a 的右子节点 c

具体操作为：如果节点 a 的后继节点就是右子节点 c，那右子节点 c 肯定没有左子树。我们把节点 a 删除，并且将节点 c 替换到节点 a 的位置。这一部分操作跟普通的二叉查找树的删除操作无异；然后把节点 c 的颜色设置为跟节点 a 相同的颜色；如果节点 c 是黑色，为了不违反红黑树的最后一条定义，我们给节点 c 的右子节点 d 多加一个黑色，这个时候节点 d 就成了“红 - 黑”或者“黑 - 黑”；这个时候，关注节点变成了节点 d，第二步的调整操作就会针对关注节点来做。

情况三：如果要删除的是节点 a，它有两个非空子节点，并且节点 a 的后继节点不是右子节点

具体操作为：找到后继节点 d，并将它删除，删除后继节点 d 的过程参照 CASE 1；将节点 a 替换成后继节点 d；把节点 d 的颜色设置为跟节点 a 相同的颜色；如果节点 d 是黑色，为了不违反红黑树的最后一条定义，我们给节点 d 的右子节点 c 多加一个黑色，这个时候节点 c 就成了“红 - 黑”或者“黑 - 黑”；这个时候，关注节点变成了节点 c，第二步的调整操作就会针对关注节点来做。

2. 针对关注节点进行二次调整

初步调整之后，关注节点变成了“红 - 黑”或者“黑 - 黑”节点。针对这个关注节点，再分四种情况来进行二次调整。

备注：二次调整是为了让红黑树中不存在相邻的红色节点。

情况一：如果关注节点是 a，它的兄弟节点 c 是红色的

具体操作：围绕关注节点 a 的父节点 b 左旋；关注节点 a 的父节点 b 和祖父节点 c 交换颜色；关注节点不变；继续从四种情况中选择适合的规则来调整。

情况二：如果关注节点是 a，它的兄弟节点 c 是黑色的，并且节点 c 的左右子节点 d、e 都是黑色的

具体操作：将关注节点 a 的兄弟节点 c 的颜色变成红色；从关注节点 a 中去掉一个黑色，这个时候节点 a 就是单纯的红色或者黑色；给关注节点 a 的父节点 b 添加一个黑色，这个时候节点 b 就变成了“红 - 黑”或者“黑 - 黑”；关注节点从 a 变成其父节点 b；继续从四种情况中选择符合的规则来调整。

情况三：如果关注节点是 a，它的兄弟节点 c 是黑色，c 的左子节点 d 是红色，c 的右子节点 e 是黑色

具体操作：围绕关注节点 a 的兄弟节点 c 右旋；节点 c 和节点 d 交换颜色；关注节点不变；跳转到 CASE 4，继续调整。

情况四：如果关注节点 a 的兄弟节点 c 是黑色的，并且 c 的右子节点是红色的

具体操作：围绕关注节点 a 的父节点 b 左旋；将关注节点 a 的兄弟节点 c 的颜色，跟关注节点 a 的父节点 b 设置成相同的颜色；将关注节点 a 的父节点 b 的颜色设置为黑色；从关注节点 a 中去掉一个黑色，节点 a 就变成了单纯的红色或者黑色；将关注节点 a 的叔叔节点 e 设置为黑色；调整结束。

以上具体代码可见：

1. /**
1. * 功能描述：删除节点
1. *
1. * @author yanfengzhang
1. * @date 2020-05-27 15:11
1. */
1. private 
       void 
       remove
       (RBTreeNode<T> node) {
1. RBTreeNode<T> child, parent;
1. boolean color;
1. /*被删除节点左右孩子都不为空的情况*/
1. if ((
       null != node.left) && (
       null != node.right)) {
1. 
1. /*获取到被删除节点的后继节点*/
1. RBTreeNode<T> replace = node;
1. 
1. replace = replace.right;
1. while (
       null != replace.left) {
1. replace = replace.left;
1. }
1. 
1. /*node节点不是根节点*/
1. if (
       null != getParent(node)) {
1. /*node是左节点*/
1. if (getParent(node).left == node) {
1. getParent(node).left = replace;
1. } 
       else {
1. getParent(node).right = replace;
1. }
1. } 
       else {
1. this.rootNode = replace;
1. }
1. 
1. child = replace.right;
1. parent = getParent(replace);
1. color = getColor(replace);
1. 
1. if (parent == node) {
1. parent = replace;
1. } 
       else {
1. if (
       null != child) {
1. setParent(child, parent);
1. }
1. parent.left = child;
1. 
1. replace.right = node.right;
1. setParent(node.right, replace);
1. }
1. 
1. replace.parent = node.parent;
1. replace.color = node.color;
1. replace.left = node.left;
1. node.left.parent = replace;
1. if (color == COLOR_BLACK) {
1. removeFixUp(child, parent);
1. }
1. 
1. node = 
       null;
1. return;
1. }
1. 
1. if (
       null != node.left) {
1. child = node.left;
1. } 
       else {
1. child = node.right;
1. }
1. 
1. parent = node.parent;
1. color = node.color;
1. if (
       null != child) {
1. child.parent = parent;
1. }
1. 
1. if (
       null != parent) {
1. if (parent.left == node) {
1. parent.left = child;
1. } 
       else {
1. parent.right = child;
1. }
1. } 
       else {
1. this.rootNode = child;
1. }
1. 
1. if (color == COLOR_BLACK) {
1. removeFixUp(child, parent);
1. }
1. node = 
       null;
1. }
1. 
1. /**
1. * 功能描述：删除修复
1. *
1. * @author yanfengzhang
1. * @date 2020-05-27 15:11
1. */
1. private 
       void 
       removeFixUp
       (RBTreeNode<T> node, RBTreeNode<T> parent) {
1. RBTreeNode<T> other;
1. /*node不为空且为黑色，并且不为根节点*/
1. while ((
       null == node || isBlack(node)) && (node != 
       this.rootNode)) {
1. /*node是父节点的左孩子*/
1. if (node == parent.left) {
1. /*获取到其右孩子*/
1. other = parent.right;
1. /*node节点的兄弟节点是红色*/
1. if (isRed(other)) {
1. setColorBlack(other);
1. setColorRed(parent);
1. leftRotate(parent);
1. other = parent.right;
1. }
1. 
1. /*node节点的兄弟节点是黑色，且兄弟节点的两个孩子节点也是黑色*/
1. if ((other.left == 
       null || isBlack(other.left)) &&
1. (other.right == 
       null || isBlack(other.right))) {
1. setColorRed(other);
1. node = parent;
1. parent = getParent(node);
1. } 
       else {
1. /*node节点的兄弟节点是黑色，且兄弟节点的右孩子是红色*/
1. if (
       null == other.right || isBlack(other.right)) {
1. setColorBlack(other.left);
1. setColorRed(other);
1. rightRotate(other);
1. other = parent.right;
1. }
1. /*node节点的兄弟节点是黑色，且兄弟节点的右孩子是红色，左孩子是任意颜色*/
1. setColor(other, getColor(parent));
1. setColorBlack(parent);
1. setColorBlack(other.right);
1. leftRotate(parent);
1. node = 
       this.rootNode;
1. break;
1. }
1. } 
       else {
1. other = parent.left;
1. if (isRed(other)) {
1. setColorBlack(other);
1. setColorRed(parent);
1. rightRotate(parent);
1. other = parent.left;
1. }
1. 
1. if ((
       null == other.left || isBlack(other.left)) &&
1. (
       null == other.right || isBlack(other.right))) {
1. setColorRed(other);
1. node = parent;
1. parent = getParent(node);
1. } 
       else {
1. if (
       null == other.left || isBlack(other.left)) {
1. setColorBlack(other.right);
1. setColorRed(other);
1. leftRotate(other);
1. other = parent.left;
1. }
1. 
1. setColor(other, getColor(parent));
1. setColorBlack(parent);
1. setColorBlack(other.left);
1. rightRotate(parent);
1. node = 
       this.rootNode;
1. break;
1. }
1. }
1. }
1. if (node != 
       null) {
1. setColorBlack(node);
1. }
1. }

参考文献与链接：

1.https://tech.meituan.com/2016/12/02/redblack-tree.html

2.《数据结构与算法之美》，王争（前Google工程师），极客时间，2019

3.https://blog.csdn.net/tanrui519521/article/details/80980135

4.https://blog.csdn.net/jjc120074203/article/details/78780221

5.https://blog.csdn.net/aa1215018028/article/details/92660140

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原文链接 : https://blog.csdn.net/weixin_43598687/article/details/121732144

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