1.题目

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的二叉搜索树有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：
输入：n = 1
输出：1

提示：
1 <= n <= 19

2.思路

（1）递归
参考LeetCode_二叉搜索树_中等_95.不同的二叉搜索树 II这题中的思想，先构造出所有的满足题意的二叉搜索树，然后再计算它们的种数即可。不过显然这种做法的效率非常低，因为题目只需要计算满足题意的二叉搜索树的种数，中间构造具体的二叉树会消耗大量的时间，所以在LeetCode上测试时会出现运行超时的情况！
（2）动态规划_递归

3.代码实现（Java）

//思路1————递归
/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {

    public int numTrees(int n) {
        //构造节点值区间[1, n]组成的BST
        return build(1, n).size();
    }

    public List<TreeNode> build(int low, int high) {
        //res用于保存所有的二叉搜索树（BST）
        List<TreeNode> res = new ArrayList<>();
        if (low > high) {
            res.add(null);
            return res;
        }
        //穷举所有可能的root节点值
        for (int i = low; i <= high; i++) {
            //递归构造当前根节点的所有合法的左右BST
            List<TreeNode> leftTree = build(low, i - 1);
            List<TreeNode> rightTree = build(i + 1, high);
            //穷举所有的组合
            for (TreeNode left : leftTree) {
                for (TreeNode right : rightTree) {
                    //i为根节点的值
                    TreeNode root = new TreeNode(i);
                    root.left = left;
                    root.right = right;
                    //将当前的一个解保存到res中
                    res.add(root);
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

//思路2————动态规划_递归
class Solution {

    //dp[i][j]:表示使用区间[i, j]中的所有整数构造的不同二叉树的种类
    int[][] dp;

    public int numTrees(int n) {
        //初始化dp，默认值为0
        dp = new int[n + 1][n + 1];
        //计算使用区间[1, n]中的所有整数构造的不同二叉树的种类
        return calCnt(1, n);
    }

    public int calCnt(int low, int high) {
        if(low > high) {
            return 1;
        }
        if (dp[low][high] != 0) {
            return dp[low][high];
        }
        int res = 0;
        //将mid看作根节点的值，那么穷举mid所有可能的取值情况
        for (int mid = low; mid <= high; mid++) {
            //计算左子树节点值区间[low, mid - 1]可以构造的不同二叉树的种类
            int leftCnt = calCnt(low, mid - 1);
            //计算右子树节点值区间[mid + 1, high]可以构造的不同二叉树的种类
            int rightCnt = calCnt(mid + 1, high);
            //简单组合得到当前根节点值为mid的不同二叉树的种类
            res += leftCnt * rightCnt;
        }
        //将结果存入res中
        dp[low][high] = res;
        return res;
    }
}