1.树的概念和结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。每个树都是由跟和子树构成的，如下图所示：

如图所示的树就是由根和三个子树构成的，子树也是如此，例如第一个子树就是由根和两个子树构成的，第二个子树是由根和一个子树构成的，第三个子树是由根和两个子树构成的，这就是为什么树是递归定义的原因。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

在上面的结构图中，如果树带了回路就是图了。

1.2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点（重点）：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

双亲节点或父节点（重点）：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点（重点）：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点，但是H和I就不是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；当然，也有从根开始定义起，根为第0层开始的，不过这种比较少。

树的高度或深度（重点）：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先，Q的祖先是Q、A、E、J

注意：自己可以认为是自己的祖先。

例题：在上面的图中。F和K的最近公共祖先是F，因为F可以认为是自己的祖先，而F同时也是K的祖先。

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

注意：自己可以认为是自己的子孙。

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
	struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType _data; // 结点中的数据域
};
//一个节点有多少个子节点都无所谓，，父亲指向第一个孩子，剩下的孩子，用孩子的兄弟指针链接起来。

1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，度最大为2，该集合:

或者为空
由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 现实中的二叉树

2.3 特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。（如上面的第一个图就是满二叉树）
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。（前k-1层都是满的，最后一层不满，但是最后一层从左向右是连续的）

2.4 二叉树的性质及相关习题

2.4.1 二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2(i-1)个结点 .
若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2h-1.
对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2,则有n0＝n2＋1.（只要增加一个度为2的，就必然增加两个度为0的）
若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log2(n+1). (ps：log2(n+1)是log以2 为底，n+1为对数)
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

2.4.2 相关习题

某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（B）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

解析：运用的是上面的性质3，度为0的个数比度为2的个数多1，即199+1即200就能得到我们想要的结果。

下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（A）

A 非完全二叉树

B 堆

C 队列

D 栈

在具有 2N 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（A）

A N

B N+1

C N-1

D N/2

解析：

假设度为2的节点数为N2，那么度为1的节点数为N1，度为1的节点数为N0，从上面的性质可以得到N2和N0的关系，即N0 = N2 + 1

N0 + N1 + N2 = 2N

运用上面的关系即可得到下面的式子：

N0 + N1 + N0 - 1 = 2N

2N0 - 1 + N1 = 2N

完全二叉树N1是1个或者0个

如果上面的式子要满足，那么N1只能是1个（必须满足2N0 - 1 + N1 = 2N），所以得到下面的式子

2N0 = 2N

即N0 = N

所以叶子节点的个数为N

一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（B）

A 11

B 10

C 8

D 12

解析：

有h层的满二叉树的节点的数量为：2h-1

假设某个满二叉树的节点数量为N，此时二叉树的深度为：h = log2(N+1)

针对此题，假设高度是h，那么该二叉树的节点个数为：

最多：2h-1

最少：2h-1(即前h-1层节点的数量加1公式为N = 2h-1-1+1（加1是因为最后一层还有一个节点）)

假设某二叉树的节点数量为N，那么N必然满足下面这个不等式：

2^h-1 < N < 2h-1

将所给条件带入之后，经过计算可得，h为10

一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

假设度为2的节点数为N2，那么度为1的节点数为N1，度为1的节点数为N0，从上面的性质可以得到N2和N0的关系，即N0 = N2 + 1

N0 + N1 + N2 = 767

N0 + N1 + N0-1 = 767

2*N0 - 1 + N1 = 767

此时N1只能是0，为什么？因为当N1是1的时候，此时节点的数目应该是偶数，但是题目所给的是奇数，所以N1只能是0。

所以计算之后叶子节点的个数是384。

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
	BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
	struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
	BTDataType _data; // 当前节点值域
}；

史上最强数据结构----二叉树的概念及结构（附习题解析）