一问题背景

在现实生活中，很多问题都可以转化为图来解决问题。例如，计算地图中两点之间的最短距离、网络最小成本布线，以及工程进度控制，等等。这些问题都涉及最小路径的求解。

二 Dijkstra 算法

给定有向带权图 G=(V,E),其中每条边的权值都是非负实数。此外，给定 V 中的一个节点，称之为源点。求解从源点到其他各个节点的最短路径，路径长度指路上各边权之和。

可以使用 Dijkstra 算法对最短路径进行求解。Dijkstra 算法是解决单源最短路径的贪心算法，它先求出长度最短的一条路径，再参照该路径求出长度次短的一条路径，直到求出从源点到其他各个节点的最短路径。

Dijkstra 算法的基本思想：假定源点 u，节点集合 V 被划分为两部分：集合 S 和集合 V-S，初始时，在集合 S 中仅包含源点 u，S 中的节点到源点的最短路径已经确定。集合 V-S 所包含的节点到源点的最短路径待定，称从源点出发只经过集合 S 中的节点到达集合 V-S 中的节点的路径为特殊路径，并用数字 dist[] 记录当前每个节点所对应的最短特殊路径长度。

Dijkstra 算法采用贪心策略是选特殊路径长度最短的路径，将其连接的集合 V-S 中的节点加入集合 S，同时更新数字 dist[]。一旦集合 S 包含所有节点，dist[] 就是从源点到所有其他节点的最短路径长度。

三算法步骤

1 数据结构

设置地图的邻接矩阵 G.Egge[][],即如果从源点 u 到节点 i 有边，就让 G.Egge[][], 等于<u,i>的权值，否则 G.Egge[][],=无穷大；采用一维数组dist[i] 记录从源点到节点 i 的最短路径长度；采用一维数组 p[i] 记录最短路径商节点 i 的前驱。

2 初始化

另集合 S={u}，对于集合 V-S 中的所有节点 i，都初始化 dist[i] = G.Egge[u][i],如果从源点 u 到节点 i 有边相连，则初始化 p[i] =u,否则 p[i] = -1。

3 找最小

在集合 V-S 中查找 dist[] 最小的节点 t，即 dist[t]=min(dist[j]),其中 j 属于集合 V-S，则节点 t 就是集合 V-S 中距离源点 u 最近的节点。

4 加入集合 S 中

将节点 t 加入集合 S 中，同时更新集合 V-S。

5 判结束

如果集合 V-S 为空，则算法结束，否则转向不足 6。

6 借东风

在步骤 3 中已经找到了从源点到节点 t 的最短路径，那么对集合 V -S 中节点 t 的所有邻接点 j,都可以借助 t 走捷径。如果 dist[j] > dist[t] + G.Egge[t][j],则 dist[j] = dist[t] + G.Egge[t][j],记录节点 j 的前驱为 t，有p[j] = t，转向步骤3。

由此，可求得从源点 u 到图的其余各个节点的最短路径及长度，也可以通过数组 p[] 逆向找到最短路径上的节点。