当你发表评论的时候 cmd2.ExecuteNonQuery(); 什么都没有发生，所以不太可能出错；-）
连接必须有效且打开
此错误表示没有绑定到命令的打开连接对象。尽管您打开了连接，但从未将其分配给命令（不同的命令可能有不同的连接）。
所以；您需要将连接分配给命令：

cmd2.Connection = con;

或者，更常见的情况是，在构造命令时：

MySqlCommand cmd2 = new MySqlCommand("your sql goes here", con);

连接必须有效并且open始终表示 MySqlCommand 未关联到任何活动连接 ExecuteNonQuery() 方法执行或正确 MySqlConnection 示例从未提供给相应的命令，即使连接已经打开。
因此，最好设置 UPDATE 以便于阅读：

using (MySqlConnection con = new MySqlConnection(conSettings.ToString()))
{
    using (MySqlCommand cmd2 = new MySqlCommand(@"update shopmanager.paths 
    set path_to_clients = @escapedPath, path_to_employee = @escapedPath1,
    path_to_procedures = @escapedPath2 where ...", con))
    {
        cmd2.Parameters.AddWithValue("@escapedPath", a.Replace(@"\", @"\\").Replace("'", @"\'"));
        cmd2.Parameters.AddWithValue("@escapedPath1", b.Replace(@"\", @"\\").Replace("'", @"\'"););
        cmd2.Parameters.AddWithValue("@escapedPath2", c.Replace(@"\", @"\\").Replace("'", @"\'"));

        try
        {
            con.Open();
            cmd2.ExecuteNonQuery();
        }
        catch (Exception ex)
        {
            MessageBox.Show(ex.Message);
        }
    }
}

或设置 CommandText 以及 Connection 属性（也包括参数，完全避免连接值）：

using (MySqlConnection con = new MySqlConnection(conSettings.ToString()))
{
    using (MySqlCommand cmd2 = new MySqlCommand())
    {
        cmd2.Connection = con;
        cmd2.CommandText = "update shopmanager.paths set path_to_clients = @escapedPath, path_to_employee = @escapedPath1, path_to_procedures = @escapedPath2 where ...";
        cmd2.Parameters.AddWithValue("@escapedPath", a.Replace(@"\", @"\\").Replace("'", @"\'"));
        cmd2.Parameters.AddWithValue("@escapedPath1", b.Replace(@"\", @"\\").Replace("'", @"\'"););
        cmd2.Parameters.AddWithValue("@escapedPath2", c.Replace(@"\", @"\\").Replace("'", @"\'"));

        try
        {
            con.Open();
            cmd2.ExecuteNonQuery();
        }
        catch (Exception ex)
        {
            MessageBox.Show(ex.Message);
        }
    }
}

请注意 using 语句可用于在成功更新后立即释放连接对象。