正如@puf所说，你不能在firebase实时数据库上实现它，但你可以在客户端实现，这意味着在android部分。
首先，你不能使用 FirebaseUI 您当前正在使用的，而您需要使用https://firebase.google.com/docs/database/android/read-and-write#read_data

ValueEventListener postListener = new ValueEventListener() {
    @Override
    public void onDataChange(DataSnapshot dataSnapshot) {
        // You have to make for each loop
        for (DataSnapshot snapshot : dataSnapshot.getChildren()) {
             DoctorHelperClass doc = snapshot.getValue(DoctorHelperClass.class);
             //List them in an array
             docList.add(doc);
        }
    }

    @Override
    public void onCancelled(DatabaseError databaseError) {
        // Getting Post failed, log a message
        Log.w(TAG, "loadPost:onCancelled", databaseError.toException());
    }
};
mPostReference.addValueEventListener(postListener);

一旦你添加了所有的医生名单。可以使用arraylist对它们进行比较。
你可以这样做。

private void searchDoc(final String inputDoc){
  boolean isFound = false;
  for (DoctorHelperClass doc in docList){
      if (doc.getFullName() == inputDoc && doc.getHospitalName() == inputDoc){
           isFound = true;
           //Do something if found
      }
  }
}

我希望你了解它的概念。

firebase实时数据库中不支持或不支持条件。您必须执行多个查询并在客户端合并结果，或者创建一个专用字段来执行此搜索。
但考虑到您的问题，您可能正在寻找远远超出firebase实时数据库处理范围的文本搜索功能。我建议使用一个额外的（甚至其他）数据库来满足您的文本搜索需求，而不是试图将这些需求强加给firebase。
另见：
使用firebase实时数据库创建搜索功能
如何在firebase数据库中搜索字符串中的任意位置-android
在没有服务器端代码的firebase中搜索
firebase和索引/搜索