公认的答案很好用，但是随着Alamofire 3.0.0的引入，有一些影响这个实现的突破性变化。
migration guide有进一步的解释，但我将突出与实际解决方案相关的解释。

• 回应
• 所有响应序列化程序（response除外）都返回一个通用Response结构。*
• 响应类型
• Result类型已重新设计为双精度泛型类型，在.Failure情况下不存储NSData？。*

另外，考虑到Alamofire会将任何已完成的请求视为成功，而不管响应的内容如何。因此，您需要在.responseJSON()之前链接一个.validate()，以命中.Failure情况。请在此处阅读更多信息。
更新的代码：

let url = "http://api.myawesomeapp.com"
Alamofire.request(.GET, url).validate().responseJSON { response in
    switch response.result {
    case .Success(let data):
        let json = JSON(data)
        let name = json["name"].stringValue
        print(name)
    case .Failure(let error):
        print("Request failed with error: \(error)")
    }
}

供参考：

• Xcode 7.3（快速移动2.2）
• 阿拉莫菲尔3.3.1
• 快速JSON 2.3.3

如果你不介意使用SwiftyJSON库，这里有一个Xcode 7 Beta 5 + Alamofire 2.0.0-beta.1 + SwiftyJSON（xcode 7分支）的工作示例

Alamofire.request(.GET, url, parameters: params, encoding: ParameterEncoding.URL).responseJSON { (_, _, result) in
    switch result {
        case .Success(let data):
            let json = JSON(data)
            let name = json["name"].string
        case .Failure(_, let error):
            print("Request failed with error: \(error)")
    }
}

编辑：
更新了SwiftyJSON git页面

现在，您可以实现大多数需要的行为，而无需使用SwiftyJSON。例如，我的OAuthTokenResponse是一个可编码的简单结构体。Alamofire库5.2.2允许您使用“responseDecodable”响应
如果你有一个结构体看起来像这样：

struct OAuthTokenResponse : Codable
{
    var access_token:String?
    var token_type:String?
    var expires_in:Int?
    var scope:String?
}

然后在你的网络中调用（使用Alamofire）

let request = AF.request(identityUrl, method: .post, parameters: parameters, encoding: URLEncoding.httpBody)
    request
        .validate()
        .responseDecodable { (response:AFDataResponse<OAuthTokenResponse>) in

            switch response.result {
            case .success(let data):
                do {
                    let jwt = try decode(jwt: data.access_token!) // example
                    self.connected = true
                    print(jwt)
                } catch {
                    print(error.localizedDescription)
                    self.connected = false
                }

            case .failure(let error):
                    self.connected = false
                    print(error.localizedDescription)
            }

        }

在上面的代码中，success case使用可解码协议自动将JSON反序列化到struct中。任何错误都将导致错误case被命中。