我相信你所观察到的事实是，每个幺半群都同态于平凡幺半群，如果你只看任何幺半群的点和箭头图，它也是平凡幺半群的有效图，但这张图并不是全貌。
当你在“抽象”时，你本质上是在抛弃幺半群上的等价关系，并补充可能的最弱的一个。Append "mm"和Append "" * 是不同的 *，但图中没有说明。可以想象它们是相等的，你将得到一个有效的幺半群，但这改变了等价关系。
即使我们放弃了一些细节，也不应该放弃它们不平等（或者至少 * 可能 * 不平等）的事实，这对结构很重要。

也许一个具体的例子会让我们更容易讨论这个问题。下面是我的具体例子：

t
┌────┐
│    ▼
└─── • ◀──┐
     │    │
     └────┘
       f

这是一个包含一个对象（•）和两个态射（t和f）的范畴。这是一个完整的范畴定义吗？不，我们还需要另一个东西，即复合的定义。我将以查找表的形式给予它。

f ∘ f = f
f ∘ t = t
t ∘ f = t
t ∘ t = f

这是一个完整的范畴定义吗？不，我们还需要做一件事，那就是我们需要为每个对象标识一个态射，作为一个恒等式。对于这个范畴，只有一个对象，并且f对这个对象有正确的行为。
这是一个完整的范畴定义吗？是的！你可能想要验证范畴律--fx = xf = x，以及（x**y）z = x（y**z）--但也欢迎你相信我的话。（如果这有助于你对这些证明的直觉，你可能会想把f读作“假”，把t读作“真”，把读作“异或"。）
好吧，这是一个单一对象的范畴。希望它清楚地表明，不是所有的态射都是相同的。真和假看起来肯定是不同的概念！
现在比较一下上面的范畴定义和下面的幺半群定义。要定义幺半群，我们必须给予一个集合的三元组（M，+，0），一个二元运算和一个恒等式。定义：

M = {f, t}
f + f = f
f + t = t
t + f = t
t + t = f
0 = f

这说明了布尔型在异或下的幺半群。注意我们的两个发展是多么的相似。对于范畴，我们给出了一个点和箭头图，标识了两个箭头，f和t。而对于幺半群定义，我们给出了一个包含两个元素的集合，f和t。对于范畴，我们给出了一个组合算子，将两个态射组合成一个。对于幺半群，我们给出了一个取集合中两个元素并返回一个元素的算子;对于范畴，我们确定f为单位态射;对于幺半群，我们确定f为单位元素;对于范畴，我们证明了是结合的;对于幺半群，我们证明了+是结合的;对于范畴，我们证明了与f的复合不起作用，而对于幺半群，我们证明了对f的加法不起作用。
定义幺半群需要提供的数据和定义单对象范畴需要提供的数据是相同的！