for (int counter = 0; counter < 10; counter ++) 
{
    fscanf(names, "%s %s\n", firstname, secondname);
    if(counter==6)
    printf("%s%s\n", firstname, secondname);
}

此代码现在将只打印第7个名字和第2个名字，

是的，如果您只想打印第7个名称，请在printf周围设置一个条件：

if (counter == 6)
    printf("%s%s\n", firstname, secondname);

现在就你的方法的其他问题做一些一般性的评论。首先，你没有对你的输入做边界检查，这可能会导致缓冲区溢出。
从文件中阅读字符串的一般建议是使用fgets。如果你的缓冲区足够大的话，这将读取一整行。然后你可以使用strtok将该行拆分成多个名称，或者使用strchr查找第一个空格。
另一个问题是你没有测试输入是否成功。fscanf返回成功读取的元素数。如果不等于2，你可能应该放弃循环。
最后，您正好循环了10次，这就对文件的内容做了一个大胆的假设。也许您想在阅读第7个字符串后退出循环。谁知道呢？但要么这样做，要么循环直到读取一行失败。