我发现了C中log函数的一个奇怪行为，并且对log函数处理复数无穷数的行为感到困惑。具体来说，当我期望(inf + nan * 1j)时，log(inf + inf * 1j)等于(inf + 0.785398j)。
取复数的对数时，真实的部是输入绝对值的对数，虚部是输入的相位。返回0.785398作为log(inf + inf * 1j)的虚部意味着它假设实部和虚部中的inf具有相同的长度。这个假设似乎与其他计算不一致，例如，inf - inf == nan、inf / inf == nan（假设2 × inf）不必具有相同的值。
为什么log(inf + inf * 1j)的假设不同？
复制C代码：
#include <complex>
#include <limits>
#include <iostream>
int main() {
double inf = std::numeric_limits<double>::infinity();
std::complex<double> b(inf, inf);
std::complex<double> c = std::log(b);
std::cout << c << "\n";
}复制Python代码（numpy）：
import numpy as np
a = complex(float('inf'), float('inf'))
print(np.log(a))
3条答案
按热度按时间lhcgjxsq1#
free final draft of the C99 specification在第491页上说
clog（+∞，+i∞）返回+∞ + iπ/4。
currently仍然是这种情况。C++ specification使用注解解释了相同的规则
此函数的语义旨在与C函数
clog保持一致。我同意这种行为从数学的Angular 看是令人困惑的，并且可以说与其他
inf语义不一致，正如你指出的，但是实际上，它是C标准的一部分，这使得它成为C++标准的一部分，并且由于NumPy通常依赖于C行为（即使在令人困惑的情况下），这在Python示例中是继承的。标准库
cmath.log()函数具有相同的行为（if you test it right...）：我没有办法研究C标准的基本原理，我假设这里有实用的选择，可能是在考虑这些复杂的函数如何相互作用时。
9vw9lbht2#
值0.785398（实际上是pi/4）至少与 * 一些 * 其他函数一致：正如你所说，复数的对数的虚部等于该数的相角。2这可以转化为一个问题：
inf + j * inf的相位角是多少？我们可以通过
atan2(Im(z), Re(z))计算复数z的相位角，对于给定的数字，这可以归结为计算atan2(inf, inf)，对于Numpy和C/C++，atan2(inf, inf)也是0.785398（或pi/4），所以现在可以问一个类似的问题：为什么是atan2(inf, inf) == 0.785398？对于后者，我没有答案（除了“C/C++规范是这么说的”，其他人已经回答了），我只有一个猜测：如
atan2(y, x) == atan(y / x)对x > 0，可能有人在此上下文中决定不将inf / inf解释为“未定义”，而是解释为“一个非常大的数除以同一个非常大的数”。此比率的结果将是1，并且根据atan的数学定义，atan(1) == pi/4为atan。也许这不是一个令人满意的答案，但至少我可以有希望地表明，给定边缘情况下的
log定义与相关函数定义的类似边缘情况并非完全不一致。编辑：正如我所说，与 * 一些 * 其他函数一致：例如，它也与
np.angle(complex(np.inf, np.inf)) == 0.785398一致。编辑2：查看source code of an actual
atan2implementation时出现以下代码注解：注意，不明显的情况是y和x都是无穷大或都是零。有关详细信息，请参阅 * 复初等函数的分支切割，或W. Kahan著的关于无符号位的许多Ado *
我翻查了参考文档，你可以找到一个here的副本。在本参考的第8章，称为“复数零和无穷大”，William Kahan（他既是数学家又是计算机科学家，根据维基百科，“浮点之父”）涵盖了复数的零和无穷大边缘情况，并得出了pi/4用于将
inf + j * inf输入arg函数（X1 M15 N1 X是计算复数的相位角的函数，就像上面的np.angle一样）。你可以在第17页的链接PDF中找到这个结果。我不是一个足够的数学家，无法总结Kahan的理论基础（也就是说：我真的不明白），但也许别人可以。anauzrmj3#
如果我们从纯数学的Angular 来考虑这个问题，那么我们可以从极限的Angular 来看待运算，例如当x趋于无穷大时，1/x趋于0（表示为lim（x =〉inf）1/x = 0），这就是我们在浮点数中观察到的。
对于2个无穷大的运算，我们分别考虑每个无穷大，因此：
一般来说，我们说inf/x = inf，x/inf = 0。
我们应该选择哪一个呢？floats的规范通过声明它是NaN来回避。
然而，对于复杂日志，我们观察到：
仍然有一个矛盾，但它不是在0和inf之间，而是在0和pi/2之间，所以规范的作者选择了折中的方法。我不知道他们为什么做出这个选择，但浮点无穷不是数学上的无穷。而是表示“这个数字太大了，无法表示”。（复数）可能比减法和除法更纯粹的数学，作者可能觉得保留身份im（log（x+xj））== pi/4是有用的。