string没有指向有效的内存，因此，尝试使用scanf扫描到它会使您处于未定义行为的领域。
你需要自动地或者动态地为字符数组分配内存。

char string[1024];
scanf("%1023s", string);

使用%1023s说明符指示最大宽度，以便不会发生缓冲区溢出。还应检查scanf是否返回1以指示已成功读取一个值。

你需要一个value来累加数字之和，它是a吗？
也在这里

int cont = 0, a, array[10];
 char *string;

您忘记让string指向array，如

char array[10];
  char *string = array;

因此指针无效。string应为char[10]
另一个需要考虑的因素是信号，因为INT_MAX是2147483647，并且有10位数，所以数组大小是可以的，所以在输入字符串中使用9和最后一个NULL是安全的，没有上溢或下溢。从-999，999，999到999，999，999所有值都符合int。
请注意，scanf()在读取'\n'之前始终处于缓冲状态，因此您将执行两个循环：一个到'scanf'中的'\n'，另一个到while中的'0'，你仍然需要过滤字符串中的数字。
请参阅此备选方案：

#include <stdio.h>

int main(void)
{
  int n_dig = 0;
  int sig = 1;
  int value = 0;
  // may have a signal
  printf("Insert a number (optional sign + up to 9 digits): ");
  int ch = fgetc(stdin);
  if (ch == '-')
    sig = -1;
  else if (ch == '+')
    sig = 1;
  else if (ch < '0')
    return 0;
  else if (ch > '9')
    return 0;
  else
    n_dig = 1, value = ch - '0';
  // '\n' ends all
  while ((ch = fgetc(stdin)) != '\n')
  {
    if (ch < '0' || ch > '9') break;
    value = (10 * value) + (ch - '0');
    n_dig += 1;
    if (n_dig == 9) break;
  };
  if (n_dig == 0) return -1;
  printf("Decimal value is %d\n", sig * value);
  return 0;
}

差异

• 使用fgetc（）的单个循环
• 信号正常，+或-
• 仅输入一个信号返回错误
• 任何非数字退出循环
• 上升到9位数，一个信号