在函数式编程中，我们有Referential Transparency，这意味着可以用函数的值替换函数，而不需要修改程序。* 这在数学中也是正确的*，但在命令式语言中并不总是正确的*。

• 数学函数 * 定义如下：一种将元素从一个集合（A）Map到另一个集合（B）的关系，第一个集合中的每个元素只与另一个集合中的一个元素Map。在C语言中（与其它程序设计语言一样）也是如此，你有输入集和输出集（几乎总是一个）。

主要的区别在于，如果你在数学中调用f(x)，你总是得到相同的答案，但是如果你在C中调用f'(x)，答案可能不一样--相同的参数并不总是返回相同的输出。而且取决于程序中的其他东西（封闭作用域、全局变量、内置函数、状态（如果使用面向对象））。
math函数和C函数的另一个区别是，在Math中，您不能创建从非空集到空集的函数（在C中，这将是：你不需要总是返回一些东西），而且，不是所有的函数都是computable（我不知道在数学中是否有类似的东西），你没有无限集的函数（你有有限的内存，所以可能的输入参数集必须是有限的），但是在数学中，你可以定义一个无限集的函数（比如f：N -〉N）和uncountable集合（如f：R -〉R）（在C中你有浮点数，但它们只表示真实的的简化集，这是有限的）。

总结：

在C语言中，您并不总是具有引用透明度。您的函数可能并不总是为相同的输入参数给予相同的输出。您可以拥有为无限输入集定义的数学函数，但在C语言函数中，您的输入是有限的。在C语言函数中，您可以拥有不返回任何值的函数，但在数学中，您不能拥有这种函数（如果你有一个有非空输入集的函数，你必须将每个元素Map到另一个集合中的一个）。

这取决于领域（我不是指功能的领域，我是指学习的领域），也可能取决于语言。
在数学中，对于给定的输入值，一个函数的输入只能Map到一个输出（请记住，垂直线测试）;在编程中，这可能并不完全相同，这取决于你在“输入”和“函数逻辑”之间画的线。
例如，假设我们有一个函数兰德（），它读取大气条件以得到一个真正的随机数，再假设一个调用函数将一个整型参数作为排序的乘数，那么下面这个函数是函数吗？

int giveRandAtmosWithMul(int mult)
{
    return mult * rand();
}

从数学意义上讲，如果您将mult视为问题的唯一输入，那么它可能不是一个函数，但显然兰德（）也提供了输入（尽管rand（）在机器代码中总是具有相同的入口点）。
正如您所看到的，如果没有一些大家都同意的标准协议，这些差异实际上是无法客观定义的。

我认为最重要的区别是数学（和函数式编程）中的函数不能改变状态，而（命令式）编程函数可以。

其他答案都是正确的--这是两件不同的事情，相反，我将证明它们是相关的，我将用->表示编程函数，用=>表示数学函数。
假设你有一种支持异常的语言。在这种情况下，你可以把一个编程函数A -> B想象成一个数学函数A => B + E，其中“B + E”表示B类型的东西，或者E类型的东西。你的语言有两个从函数返回的关键字，“return”和“throw”。
现在，您可以通过编写g(f(x))来组合两个函数f: A -> B和g: B -> C。这是一个接受A并返回C的函数。您可以在许多语言（如Java或Python）中执行此操作。实际上，如果f(x)抛出异常，g不会被调用，异常会被传播--想想g(1/0)，语言会处理这个问题，你不需要检查f的结果是否是一个异常。数学上的描述方式是，虽然f: A => B+E和g: B => C+E，但语言将函数g“提升”为B+E => C+E。g现在是一个可能发生异常的函数，但它只会传播异常。
换句话说，定义g': B+E => C+E为

/   g(x)   if x ∈ B
g'(x)= |
        \   x      if x ∈ E

有了两个函数f: A => B+E和g': B+E => C+E，你可以安全地在数学意义上把它们组合起来，这就是g(f(x))在编程中所做的，但是它必须先把g提升到g'。
考虑一下不确定性，如果你有一个不确定的函数A -> B，你可以用数学的方法描述它，这是一个函数A => Set(B)，其中Set(B)是可能结果的集合，例如，如果f(1)可能给予你1，2或3，那么数学上就是f(1) = {1,2,3}，尽管在编程时，当要求输入f(1)时，你只能得到其中一个，现在你可以通过写g(f(x))来组合非确定性函数A->B和B->C。结果将为C类型，但它是不确定的。从数学上讲，组合函数A => Set(B)和B => Set(C)会得到A => Set(C)。尽管g只接受B的一个值，但必须将其提升为不确定的值g': Set(B) => Set(C)。例如，g'({1,2})是集合g(1)和g(2)的并集。因此g(f(x))意味着您运行f，获取所有可能结果的集合，并对每个结果运行g。存在两层不确定性，但它们被“扁平化”为一层。
全局状态也一样，如果你把每个全局变量都作为函数的参数和结果，你可以认为没有全局变量，每个函数都取所有的全局状态，语言在编写时必须移交状态。一个函数A -> B阅读并可能写入状态S是一个函数(A,S) => (B,S)，也可以写成A => (S => (B,S))，正式写起来要复杂一些，但是模式是一样的。
输入/输出也可以这样做，我在另一个SO answer中描述过。
允许组合“有效”函数的“魔力”是：

• 一种使类型有效的方法。例如，将B转换为B+E或Set(B)。我将类型X的有效版本表示为F(X)。
• 提升功能的方法：B -> F(C)到F(B) -> F(C)中，允许组合函数A -> F(B)和B -> F(C)。
• 关键字return必须将普通值A转换为A+E，或者单例值Set(A)，所以它的类型必须是X -> F(X)。

由这三个单子组成的结构称为单子。单子允许描述那些副作用。单子也可能有一些特定的功能，例如异常单子有throw，非确定性单子有fork，状态单子有get/put，IO单子有read/write等。
这个故事的寓意是：如果你把随机化、异常、非确定性、输入/输出等特殊效果看作函数结果的一部分，那么每个函数都是引用透明的，命令式编程中的函数实际上是数学函数，但具有非常奇怪的结果类型，这些结果类型也描述了特殊效果，这是纯函数式语言如Haskell所采用的方法。

在数学中，函数不会抛出异常。：）
计算机科学中的函数是一段代码，它接受输入，执行某项操作，并可能返回输出，但它可以在这两者之间执行许多操作，它可以获取网页、发送电子邮件、播放视频，等等。
在数学中，函数是非常具体的东西，不是别的。函数通常被描述为一台接受输入并吐出输出的“机器”。而计算机科学函数确实接受输入并吐出输出，他们不需要像数学那样精确的“相同的输入总是产生相同的输出（例如，bool IsMyApplicationRunningInFullScreen（）返回各种值，而根本没有输入）。

数学函数本质上是声明性的，即它们总是有“是什么”的描述，而计算机科学中的函数是命令性的，即它们有“如何”的描述。
参考资料：计算机程序的结构和解释.