当你切换DataGridViewCheckBoxCell中的复选框时，它通常会将CurrentCell置于编辑模式，新值不会被提交到单元格，直到DataGridView以某种方式离开编辑模式。
你可以尝试在复选框切换时立即结束编辑，看看先在你的点击处理方法中添加这段代码是否有帮助。

void datagridview1_CellContentClick(object sender, DataGridViewCellEventArgs e)
{            
    if (dataGridView.CurrentCell is DataGridViewCheckBoxCell)
    {
        dataGridView.EndEdit();
    }
    .
    .
    .
}

I tested此答案使用您的测试用例，其中选中的顺序是“FRAN”，然后是“AZI”，并且使用下面所示的最小样本按预期工作。

public partial class MainForm : Form
{
    public MainForm() => InitializeComponent();

    protected override void OnLoad(EventArgs e)
    {
        base.OnLoad(e);

        dataGridView.AllowUserToAddRows= false;
        dataGridView.DataSource = Items;
        Items.Add(new Item { Name = "AZI" });
        Items.Add(new Item { Name = "FRAN" });
        dataGridView.Columns[nameof(Item.Selected)].AutoSizeMode = DataGridViewAutoSizeColumnMode.ColumnHeader;
        dataGridView.Columns[nameof(Item.Name)].AutoSizeMode = DataGridViewAutoSizeColumnMode.Fill;

        dataGridView.CellContentClick += onCellContentClick;
    }

    private void onCellContentClick(object? sender, DataGridViewCellEventArgs e)
    {            
        if (dataGridView.CurrentCell is DataGridViewCheckBoxCell)
        {
            dataGridView.EndEdit();

            Item item = Items[e.RowIndex];
            textBoxLast.Text = item.Selected ? item.Name : string.Empty;
            textBoxAll.Text =
                string.Join(
                    ",",
                    Items.Where(_=>_.Selected).Select(_ => _.Name));
        }
    }
    BindingList<Item> Items = new BindingList<Item>();
}
class Item
{
    public bool Selected { get; set; }
    public string Name { get; set; } = string.Empty;
}