台词

int *p; //Declaration of a pointer variable
p=&movie_Scores; // holds the address of 1st element of movie_Scores

错误。如果希望它指向外部数组的第一个元素，则应将

int (*p)[5]; //Declaration of a pointer variable
p = movie_Scores; // holds the address of 1st element of movie_Scores

而不是。
int (*p)[5];行将声明一个指向5个int元素的数组的指针（而不是指向这些元素中的单个元素的指针）。
请注意，由于array to pointer decay的原因，

p = movie_Scores;

等同于：

p = &movie_Scores[0];

还有，在排队的时候

scanf("%d", (p+i+(j*5)));

表达式(p+i+(j*5))是错误的。它应该是&movie_Scores[j][i]，它与&p[j][i]相同，或者，如果必须使用指针表示法，它应该是&*(*(p+j)+i)，它简单地是*(p+j)+i，因为&和*相互抵消。
您在程序的其他4个地方也使用了不正确的表达式(p+i+(j*5))。
另一个问题是，在第一组循环中，外部循环计数为5，内部循环计数为8，但在第二组循环中，情况正好相反：外循环计数为8，内循环计数为5。
此外，第三个循环计数为8而不是5，因此访问的2D数组的外部数组超出了界限。
另一个问题是下面一行的位置：

sum=0; //re-initializing sum to 0 for each itteration

你把它放在内环里面，但是它应该放在外环里面。
应用这些修复后，程序应如下所示：

#include <stdio.h>

int main()
{
    int movie_Scores[8][5]; //Declaration of a 2D array
    int (*p)[5]; //Declaration of a pointer variable
    p = movie_Scores; // holds the address of 1st element of movie_Scores
    int sumArray[8];
    int sum;

    //Array of pointers to strings and initializtion
    char movie_Names[][100] =      {"1. Movie 1",
                                    "2. Movie 2",
                                    "3. Movie 3",
                                    "4. Movie 4",
                                    "5. Movie 5",
                                    "6. Movie 6",
                                    "7. Movie 7",
                                    "8. Movie 8"
                                   };

    for(int i=0; i<5; i++)
    {
        printf("Judge %d, rate each movie from 1-10:\n\n", i+1);
        for(int j=0;j<8;j++)
        {
            printf("%s:\t\t", movie_Names[j]);
            scanf("%d", *(p+j)+i );

            while( *(*(p+j)+i) < 1 || *(*(p+j)+i) > 10)
            {
                printf("\n!!Enter number between 1-10!!\n");
                printf("\n%s:\t\t", movie_Names[j]);
                scanf("%d", *(p+j)+i );
            }
        }
        printf("\n\n");
    }

    for(int i=0; i<5; i++)
    {
        sum=0; //re-initializing sum to 0 for each iteration

        for(int j=0; j<8; j++)
        {
            sum = sum + *(*(p+j)+i);
            sumArray[i] = sum;
        }
    }

    for(int i=0; i<5 ; i++)
    {
        printf ("%d\n", sumArray[i]);
    }
}

现在，您的程序具有正确的输出：

Judge 1, rate each movie from 1-10:

1. Movie 1:             1
2. Movie 2:             1
3. Movie 3:             1
4. Movie 4:             1
5. Movie 5:             1
6. Movie 6:             1
7. Movie 7:             1
8. Movie 8:             1

Judge 2, rate each movie from 1-10:

1. Movie 1:             2
2. Movie 2:             2
3. Movie 3:             2
4. Movie 4:             2
5. Movie 5:             2
6. Movie 6:             2
7. Movie 7:             2
8. Movie 8:             2

Judge 3, rate each movie from 1-10:

1. Movie 1:             3
2. Movie 2:             3
3. Movie 3:             3
4. Movie 4:             3
5. Movie 5:             3
6. Movie 6:             3
7. Movie 7:             3
8. Movie 8:             3

Judge 4, rate each movie from 1-10:

1. Movie 1:             4
2. Movie 2:             4
3. Movie 3:             4
4. Movie 4:             4
5. Movie 5:             4
6. Movie 6:             4
7. Movie 7:             4
8. Movie 8:             4

Judge 5, rate each movie from 1-10:

1. Movie 1:             5
2. Movie 2:             5
3. Movie 3:             5
4. Movie 4:             5
5. Movie 5:             5
6. Movie 6:             5
7. Movie 7:             5
8. Movie 8:             5

8
16
24
32
40