对于那些有类似问题的人：
这里订阅Click事件的方法有两个，第一个是：

updateCustomerBttn.Click += (sender, e) => HandleID(customer);

第二个是

private void updateCustomerBttn_Click(object sender, EventArgs e)

其在InitializeComponent()中预订。
现在的问题是，因为updateCustomerBttn在HandleID之前被订阅，所以当调用事件时，它也在HandleID之前被执行，这意味着表单在HandleID执行之前被关闭，这就是问题的原因。
当然，你可以改变订阅这两个方法的顺序，但是你已经可以看到，随着时间的推移，这会变得非常混乱，所以更好的选择是将this.Close()移到HandleID，或者--如果你想非常简洁的话--将它添加到构造函数的lambda中：

public partial class UpdateCustomerForm : Form
{
    public UpdateCustomerForm(UpdateCustomer customer)
    {
        InitializeComponent();      
        updateCustomerBttn.Click += (sender, e) => {
            HandleID(customer);
            this.Close();
        };
    }

    private void HandleID(UpdateCustomer customer)
    {
        UpdateCustomer customerToUpdate = new UpdateCustomer()
        {
            CustomerID = customer.CustomerID,
            CustomerName = nameTb.Text,
            Address1 = addressTb.Text,
            Address2 = address2Tb.Text,
            Phone = phoneTb.Text,
            City = cityTB.Text,
            Country = countryTb.Text
        };

        Customer.UpdateCustomer(customerToUpdate);

        CustomerForm CustomerForm = (CustomerForm)Application.OpenForms["CustomerForm"];
        CustomerForm.PopulateDGV();
    }
}