你的问题有点不精确。我对Azure了解不多，但对于AWS Lambda来说，它的伸缩性很好。如果你有100万个并发请求，Lambda会为每个请求创建一个示例。请注意，每个区域有1000个并发执行a default limit，但可以通过支持请求来增加。
第一次请求发出后，容器可能被重用。有一个blog post解释了它是如何工作的。虽然不推荐你尝试在容器中缓冲你的连接。根据数据库和驱动程序，你的连接可能在冻结期间失效，也可能仍然工作。对于我使用的Lambda之一，缓冲工作得很好。当你不这样做时，你应该注意。t正确关闭连接，这可能会导致数据库服务器上的泄漏，当然，您应该在再次使用连接之前验证连接。
使用Java，我将连接放入类的作用域中，并在处理程序中检查连接是否已经初始化，例如：

public class LambdaHandler implements RequestStreamHandler {
  private Connection con = null;

  public void handleRequest(InputStream inputStream,
      OutputStream outputStream, Context context) {
    if (con == null) {
      con = getConnection(context);
    } else {
      con = validateConnection(context, con);
    }
  }

你可能可以使用你使用的语言做同样的事情。如果Azure Functions的工作原理与AWS Lambda非常相似，我不会感到惊讶，但你最好检查文档以进行验证。

当谈到在AWS的lambda中使用DB连接时，你应该阅读一下lambda的container execution model。当调用lambda时，AWS会启动一个容器来运行处理函数内部的代码。因此，如果你在处理函数外部定义数据库连接，它将在Lambda函数的调用中共享。你可以在上面的链接中找到。
Lambda函数代码中的任何声明（在处理程序代码之外，请参见编程模型）将保持初始化状态，从而在再次调用函数时提供额外的优化。例如，如果Lambda函数建立了数据库连接，则在后续调用中将使用原始连接，而不是重新建立连接。您可以在代码中添加逻辑，以便在创建连接之前检查连接是否已存在。

const pg = require('pg');
const client = new pg.Client(<connection_string>);

exports.handler = (event, context, cb) => {  
  client.query('SELECT * FROM users WHERE ', (err, users) => {
    // Do stuff with users
    cb(null); // Finish the function cleanly
});
};

参考this博客文章。
但有一个警告。
编写Lambda函数代码时，不要假设AWS Lambda总是重用容器，因为AWS Lambda可能选择不重用容器。根据各种其他因素，AWS Lambda可能只是创建一个新容器，而不是重用现有容器。
此外，您可以创建一个预定的作业来预热lambda函数。（每5分钟运行一次）