你必须把double arctan1 = (Math.pow(-1, k) * (Math.pow(x, 2 * k + 1) / (2 * k + 1)));也放进循环中，因为这是Σ在公式中的作用。
在这种情况下，你也不需要在for循环中有一个新的变量i，像公式那样使用k就可以了。
所以它应该是这样的：

public class arctan {
    public static double arctan(double x) {
        double sum = 0;

        for (int k = 0; k < 100; i++) {
            sum += (Math.pow(-1, k) * (Math.pow(x, 2 * k + 1) / (2 * k + 1)));
        }
        return sum;
    }
}

字母Σ（求和）是什么意思？

参见Wikipedia关于数学求和符号（希腊字母中大写的sigma）：Σ.
在您的情况下，它是从k = 0到k = infinite范围内的总和。
sigma * 后面的 * 项之和。

将其定义为函数而不是变量

• 后面的 * 术语通过以下方式正确实施：double arctan1 = (Math.pow(-1, k) * (Math.pow(x, 2 * k + 1) / (2 * k + 1)));

将其提取为k和x的函数：

public static double arctan1(int k, double x) {
    return ( Math.pow(-1, k) * (Math.pow(x, 2 * k + 1) / (2 * k + 1) ));
}

因为现在计算依赖于输入k和x，所以可以在k的求和范围中使用它：

// Note: the limit is 99 here, not infinite
for (int k = 0; k < 100; k++) {
  sum += arctan1( k,x );  // increasing k used as input
}

把它放在一起

// your "term following the sum-over" implemented by function arctan1(int k, double x)
 
public static double arctan(double x) {
    double sum = 0;
    // your loop to sum-up for increasing k
    return sum;
}