在$elemMatch表达式之外，简单的$ne用法就足够了，Mongo对大多数查询“扁平化”数组，因此如果数组中的单个元素与查询匹配，它就满足条件。
在您的情况下，如果您使用$ne，并且cool是其中一个元素，则条件将为“匹配”，文档将被排除，如下所示：

db.collection.find({
  "attributes.name": {
    $ne: "Cool"
  }
})

Mongo Playground

我遇到过一个类似的用例，数组中的任何元素都与搜索到的值不匹配，因此，我扩展了这个问题的答案。
如果在$elemMatch表达式中指定单个查询 predicate ，并且在$elemMatch中不使用$not或$ne运算符，则可以省略$elemMatch。reference

db.collection.find({
  "attributes": {
    $elemMatch: {
       "name": {
          $ne: "Cool"
        }
    }
  })

此查询返回结果数组中任何名称都不是“Cool”的文档。

db.collection.find({
  "attributes.name": {
    $ne: "Cool"
  }
})

此查询返回结果数组中所有名称都不是“Cool”的文档。