官方途径https://github.com/react-native-community/react-native-permissions#checknotifications

import {requestNotifications} from 'react-native-permissions';

requestNotifications(['alert', 'sound']).then(({status, settings}) => {
  // …
});

安卓系统：

实际上，推送通知权限属于普通类别权限，如INTERNET权限，而不是危险类别权限。

• 您不必请求推送通知权限。*

更多详细信息请参见https://stackoverflow.com/a/37294287/7188778

你可以使用**Notifee Library**软件包来请求通知权限（ios和android），你也可以检查权限状态，但我不认为有一个软件包说明权限是否被用户关闭。

可以勾选react-native-permissionsnpm，积分后可以这样使用：

componentDidMount() {
  Permissions.check('notification').then(response => {
    // Response is one of: 'authorized', 'denied', 'restricted', or 'undetermined'
    this.setState({ photoPermission: response })
  })
}

有another library可以帮助（我没有用过）。
按照建议，here也有本机实现。