char *
savestr(s)
register char *s;

这是一个旧的K&R style declaration/definition.
register关键字现在也完全过时了。它原本是编译器的优化提示。但现在已经不再需要了，除非在一些编译器无法优化的罕见情况下。

t = s;
while (*t++);
rv = malloc((MEM) (t - s));

t被赋值为s，并递增，直到它到达'\0'字节。t - s然后给出两个指针之间的差，这等效于strlen (s) + 1，然后为rv分配内存，与strdup()非常相似。

t = rv;

这会将rv的指针值赋给t，这样它们现在都指向同一个内存位置，在函数结束时，只有rv会指向这个位置。

while (*t++ = *s++);

解析为：

while ((*(t++) = *(s++)) != '\0');

在表达式中，后置增量运算符返回操作数的旧值。因此，它首先将s所指向的字符复制到t所指向的字符，然后将两个指针都递增，以指向它们各自的下一个字符。在循环中，这将由X1 M11 N1 X指向的存储器区域的内容复制到由X1 M12 N1 X指向的存储器区域。
错误是相当明显的，而且已经被指出了。所以我将把它留给OP去弄清楚。
savestr的现代版本如下所示：

char *
savebuf (char const *s, size_t size)
{
  char *rv;

  if (! size)
    return NULL;

  rv = malloc (size);

  if (! rv)
    {
      if (! using_plan_a)
    xalloc_die ();
    }
  else
    memcpy (rv, s, size);

  return rv;
}

char *
savestr (char const *s)
{
  return savebuf (s, strlen (s) + 1);
}

void
xalloc_die (void)
{
  fatal ("out of memory");
}

请注意ANSI样式函数声明/定义和register关键字的缺失。长度由调用方传递，第二个while循环已替换为memcpy()。宏MEM（最初计算为(unsigned)）和指针t已被删除。

t - s是大小（两个指针之间的差），并且通过语句t = s和while(*t++)实现strlen(s) + 1。
while (*t++ = *s++)将s指向的值*复制到s指向的字符串，并递增两个指针。字符串以\0结束，\0为false，因此当复制\0时循环将终止。
所有这些都实现了strdup()。
关键字register在当前的编译器上可能没有任何作用，而且，我认为(MEM)从ptrdiff_t（一个“有符号整数类型”（6.5.5））到malloc()所期望的size_t的转换是不需要的。

t和s是内存中的位置。t-s计算指针t和s之间有多少字节。while循环遍历t指向的任何字符串，每次遍历一个字符（慢慢地将t向下移动一个字节，直到t最终指向空字符--这是cstring的结尾）。
第二个while循环遍历s和t，并将s指向的值赋给t指向的内存，直到它们为null。当字符为null字符（\0 == 0）时，循环停止，因为0为false。
这并不是一个完整的演练，但是在您处理这个过程中，您可以随时提出更多的问题，我会做出回应。