\b和\d应该是\\b和\\d。qx文本与qq文本类似，因此需要对\、$和@进行转义。
并且应该去掉print语句中的\n，因为$date中的字符串已经有一个，或者使用chomp( $date );删除$date中的一个。
您在$file的插值中还有一个代码注入错误，可以使用String：：ShellQuote的shell_quote解决。

use String::ShellQuote qw( shell_quote );

my @cmd = ( "grep", "-oP", '\bInvoked at: \K[^#]*\d', $file_qfn );
my $cmd = shell_quote( @cmd );

my $date = qx($cmd);
die "Can't spawn shell: $!\n" if $? == -1;
die "Shell killed by signal ".( $? & 0x7F )."\n" ) if $? & 0x7F;
die "Shell exited with error ".( $? >> 8 )."\n" ) if $? >> 8;

chomp( $date );

say $date;

更好的是，我们可以避免shell，并且避免构建shell命令。

use IPC::System::Simple qw( capturex );

my @cmd = ( "grep", "-oP", '\bInvoked at: \K[^#]*\d', $file_qfn );

my $date = capturex( @cmd );
chomp( $date );

say $date;

为什么要运行一个子进程呢？

use File::Slurper qw( read_text );

my $file = read_text( $file_qfn );

my ( $date ) = $file =~ /\bInvoked at: ([^#]*\d)/
   or die( "Invocation date not found\n" );

say $date;