Postgres 12或更高版本

使用SQL/JSON路径表达式，其中可以使用like_regex进行测试：

SELECT *
FROM   tbl t
WHERE  t.jsoncol @? '$[*].value ? (@ like_regex "ba" flag "i")';

仅添加flag "i"以进行不区分大小写的匹配。
可以创建索引。请参阅：

• Find rows containing a key in a JSONB array of records

Postgres 11岁或以上

没有内置的jsonb操作符，也没有直接支持这种过滤器的索引。
我建议使用EXISTS半连接：

SELECT t.*
FROM   tbl t
WHERE  EXISTS (
   SELECT FROM jsonb_array_elements(t.jsoncol) elem
   WHERE  elem->>'value' LIKE '%ba%'
   );

它避免了冗余的计算，并且避免了最后的DISTINCT步骤，您将需要使用普通的CROSS JOIN来获得不同的行。
如果这仍然不够快，一种更复杂的特定查询类型的解决方案是在IMMUTABLE函数中提取每行唯一值的连接字符串（使用不会干扰搜索模式的分隔符），在函数表达式上构建三元组GIN索引，并在查询中使用相同的表达式。
相关：

• Search for nested values in jsonb array with greater operator
• 在数组子对象上创建Postgres JSONB索引

另外，如果您的jsonb值确实与示例类似，则可以去除大量噪声并存储：

[
   {"foo":"bar"},
   {"biz":"baz"},
   {"beep":"boop"}
]

可以在横向连接中使用函数jsonb_array_elements()，并在WHERE子句中使用其结果value：

select distinct t.* 
from my_table t
cross join jsonb_array_elements(jsoncol)
where value->>'value' like '%ba%'

有关distinct和性能的说明，请阅读How to query jsonb arrays with IN operator。