我已经有一段时间没有写特征值求解器了，但我似乎记得诀窍是将它从(A - lambda*I) * x = 0重构为A*x = lambda*x。然后你的Householder或Givens步骤将给你这样的结果：

# # # | #
0 # # | #
0 0 1 | 1

...从中你可以回代，而不会到达退化的0向量。通常你也希望以规范化的形式提供x。
我的记忆力很差，所以我建议检查Golub & Van Loan以获得明确的答案。要使其健壮地工作，特别是对于非对称情况，需要很多技巧。

这和@Drew的答案基本相同，但解释有点不同。
如果A是矩阵
则特征值为lambda = 1，1+sqrt（20），1-sqrt（20）。为简单起见，我们取lambda = 1。则系统(A - lambda*I) * x = 0的增广矩阵为

0  2  0 | 0
2  0  4 | 0
0  4  0 | 0

现在你做Householder / Givens把它简化为上三角形，就像你说的，你得到了一些形式

#  #  # | 0
0  #  # | 0
0  0  # | 0

然而，最后一个#应该是零（或几乎为零）。

2  0  4 | 0
0  2  0 | 0
0  0  0 | 0

现在进行回代。在第一步中，求解最后一行中的方程。但是，该方程不会产生任何信息，因此可以设置x[2]（向量x的最后一个元素）设置为任意值。如果将其设置为零并继续使用该值进行反向替换，则会得到零向量。如果将其设置为1Drew的答案背后的想法是将最后一行替换为0 0 1 | 1，这将x[2]设置为1。
舍入误差意味着最后一个#，应该是零，可能不是零，而是像1 e-16这样的小值。这可以忽略：只要把它当作零，把x[2]设为1。
强制性警告：我假设你是出于娱乐或教育的目的来实现这一点的。如果你需要在严肃的代码中找到特征向量，你最好使用别人写的代码，因为这东西很难做对。