你应该写信的

return processNode(child, lookout);

您应该指定要返回递归调用的结果。
当你编写没有return语句的函数调用时，它所做的只是创建本地临时对象，该对象由函数processNode返回，它会立即删除它。想象一下，你想从g函数返回f函数的结果，你会这样写。

Some_Type f()
{
    if(.....)
    {
        ....
    }
    return g();
}

递归调用也是一样。你想返回下一次调用的结果。所以你的最终函数应该是

xml_node<>* processNode(xml_node<>* node, char* lookout)
    {
        for (xml_node<>* child = node->first_node(); child; child = child->next_sibling())
        {
            cout << "processNode: child name is " << child->name() << " comparing it with " << lookout << endl;
            if (strcmp(child->name(), lookout) == 0) {
                return child;
            }
            return processNode(child, lookout); // Here is the sub.
        }
    
        return nullptr;
    }

你需要返回递归的结果-递归函数的工作方式和非递归函数完全一样，并返回到调用它们的地方。
但是，您不能直接返回它，因为这样您只能查看其中一个子对象。
您需要首先存储该值，然后仅在找到所需内容时才返回该值。
大概是这样的

for (xml_node<>* child = node->first_node(); child; child = child->next_sibling())
    {
        if (strcmp(child->name(), lookout) == 0) {
            return child;
        }
        xml_node<>* result = processNode(child, lookout);
        if (result != nullptr) {
            return result;
        }
    }