根据提供的信息，我相信你正在寻找的是下面的代码片段中所示的。在那里你需要使用.prop()将单选按钮设置为选中。
如果不是，请提供更多细节。

$('input[type="radio"]').on('change', function() {
  let selectedValue = $(this).val();
  console.log('radio button changed to: ', selectedValue);
  $('input[type="radio"][value=' + selectedValue + ']').prop('checked', true);
})

form {
  border: 1px solid;
  padding: 2rem;
  background: #f1f1f1;
  font-family: sans-serif;
}

form + form {
  margin-top: 2rem;
}

<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jquery/3.3.1/jquery.min.js"></script>

<form>
  <h2>Form 1</h2>
  <input type="radio" id="course-date-1" name="course-date" value="course1" checked>
  <label for="course-date-1">course 1</label>
  <input type="radio" id="course-date-2" name="course-date" value="course2">
  <label for="course-date-2">course 2</label>
</form>

<form>
  <h2>Form 2</h2>
  <input type="radio" id="course-date-1A" name="course-date-A" value="course1" checked>
  <label for="course-date-1A">course 1</label>
  <input type="radio" id="course-date-2A" name="course-date-A" value="course2">
  <label for="course-date-2A">course 2</label>
</form>