是的，这是可能的。试试你的JavaScript：

$('#div#question_preview <some button selector>').click(function() {
    $.ajax({
        url: 'questions/'+question_id,
        type: 'PATCH',
        data: {status: <SOME VALUE I WANT>, _method: "PATCH"},
        success: function(res) {
        }
    });
});

在您的路线中：

Route::patch('questions/{id}', 'QuestionController@update')->before('admin');

在QuestionController的更新方法中：

dd(Request::method());

您将看到如下响应

string(5) "PATCH"

在Laravel文档中阅读更多关于请求信息的信息。

有可能！
您需要在表单请求中提供一个名为_method的额外参数，其值为PATCH。
JS

$('div#question_preview <some button selector>').click(function (event) {
    $.ajax({
        url: 'questions/'+question_id,
        type: 'PATCH',
        data: {status: 'some status',_method: 'PATCH'}
    });
});

为了提高HTML的可读性，可以在视图文件中提供一个值为PATCH的隐藏输入

<input type="hidden" name="_method" value="PATCH">

如果你使用的是FormData，你需要以POST的形式发送请求。Laravel应用程序会自动以PATCH的形式获取它，因为你包含了@method（'PATCH'）。所以你的路由和方法会被触发。
使用FormData的JS

$('div#question_preview <some button selector>').click(function (event) {
    let form_data= new FormData();
    form_data.append('status','some status');
    form_data.append('_method','PATCH');
    $.ajax({
        url: 'questions/'+question_id,
        type: 'POST',
        data: form_data
    });
});