下面是我的解决方案，它适用于ASP.NET Core 2.1。然而，我不知道这是否是最有效的重定向方式，所以我愿意接受更好的建议。
由于我不能让内置的AddRedirect()规则工作（我仍然认为我可能只是使用错误），我创建了一个自定义重写规则来进行重定向。
下面是我的RedirectAzureWebsitesRule，它将*.azurewebsites.net重定向到自定义域：

public class RedirectAzureWebsitesRule : IRule
{
    public int StatusCode { get; } = (int)HttpStatusCode.MovedPermanently;

    public void ApplyRule(RewriteContext context)
    {
        HttpRequest request = context.HttpContext.Request;
        HostString host = context.HttpContext.Request.Host;

        if (host.HasValue && host.Value == "my-project.azurewebsites.net")
        {
            HttpResponse response = context.HttpContext.Response;
            response.StatusCode = StatusCode;
            response.Headers[HeaderNames.Location] = request.Scheme + "://" + "www.example.com" + request.PathBase + request.Path + request.QueryString;
            context.Result = RuleResult.EndResponse;
        }
        else
        {
            context.Result = RuleResult.ContinueRules;
        }
    }
}

然后在Startup.cs中，我在AddRedirectToWwwPermanent()之前调用了新规则：

app.UseRewriter(new RewriteOptions()
    .Add(new RedirectAzureWebsitesRule())
    .AddRedirectToWwwPermanent()
);

只是和井中的回答略有不同。如果你想保持azurewebsites.net域仍然运行，你可以执行以下操作：

public class RedirectAzureWebsitesRule : IRule
{
    public void ApplyRule(RewriteContext context)
    {
        HttpRequest request = context.HttpContext.Request;
        HostString host = context.HttpContext.Request.Host;

        if (host.HasValue && host.Value.ToLower().Contains(".azurewebsites.net"))
        {
            //if we are viewing on azure's domain - skip the www redirect
            context.Result = RuleResult.SkipRemainingRules;
        }
        else
        {
            context.Result = RuleResult.ContinueRules;
        }
    }
}

这将确保您可以在两个域上运行（如果您需要）：

app.UseRewriter(new RewriteOptions()
    .Add(new RedirectAzureWebsitesRule())
    .AddRedirectToWwwPermanent()
);

您可以在站点的web.config文件中添加重定向规则。您可以通过将以下重写规则添加到wwwroot文件夹中的web.config文件来完成此操作。如果您没有web.config文件，那么您可以创建一个，只需将下面的文本粘贴到其中，只需更改主机名以匹配您网站的主机名：

<configuration>
  <system.webServer>  
    <rewrite>  
        <rules>  
          <rule name="Redirect rquests to default azure websites domain" stopProcessing="true">
            <match url="(.*)" />  
            <conditions logicalGrouping="MatchAny">
              <add input="{HTTP_HOST}" pattern="^yoursite\.azurewebsites\.net$" />
            </conditions>
            <action type="Redirect" url="http://www.example.com/{R:0}" />  
          </rule>  
        </rules>  
    </rewrite>  
  </system.webServer>  
</configuration>

有关详细信息，请参阅article。
您可以通过将现有的自定义DNS名称Map到Azure Web Apps来实现这一点，这里是article。

这应该可以工作：

.AddRedirect(@"^https?://(.+)\.azurewebsites.net(.*)$", @"https://$1.com$2", StatusCodes.Status301MovedPermanently)

正如@tj-cappelletti在评论中指出的那样，有一个新的过载使这变得容易。

app.UseRewriter(
    new RewriteOptions()
        .AddRedirectToWwwPermanent("myproject.com"));

这将重定向请求到“myproject.com“到“www.myproject.com“，但将留下任何其他（包括“*. azurewebsites.net“）单独.您甚至可以指定一个域的列表，而不仅仅是一个.

• 当你在测试时，不要忘记这些是“永久”重定向，所以你的浏览器会缓存它们。打开浏览器的开发工具，转到网络选项卡，然后选中Disable Cache框。现在，当您访问其中一个时，您将获得当前的重定向输出。如果你不这样做，它可能看起来像所需的重定向是“仍然错误”，当你实际上已经修复它，只是有旧的数据。*

您需要添加以下内容：

.AddRedirect("^your-site.azurewebsites.net$", "https://www.Your-Site.com/{R:0}", StatusCodes.Status301MovedPermanently)