正如其他人所说，命令替换的退出代码就是被替换命令的退出代码，所以

FOO=$(false)
echo $?
---
1

然而，出乎意料的是，将export添加到的开头会产生不同的结果：

export FOO=$(false)
echo $?
---
0

这是因为，当替代命令false失败时，export命令成功，这是语句返回的退出代码。

在执行命令时，$(command)允许命令的输出替换自身。
当你说：

a=$(false)             # false fails; the output of false is stored in the variable a

由命令false产生的输出被存储在变量a中。此外，退出代码与命令生成的退出代码相同。help false表示：

false: false
    Return an unsuccessful result.
    
    Exit Status:
    Always fails.

另一方面，说：

$ false                # Exit code: 1
$ a=""                 # Exit code: 0
$ echo $?              # Prints 0

导致返回a赋值的退出代码，即0。
编辑：
引自手册：
如果其中一个扩展包含命令替换，则命令的退出状态是执行的最后一个命令替换的退出状态。
引用自BASHFAQ/002：

如何在变量中存储命令的返回值和/或输出？

...
output=$(command)
status=$?
分配给output对command的退出状态没有影响，它仍然在$?中。
这不是bash特有的。引用The Open Group Base Specifications Issue 7，POSIX.1-2017的“Shell & Utilities”卷中第2.9.1节“简单命令”的结尾：
如果没有命令名称，但命令包含命令替换，则该命令应完成，并具有上次执行的命令替换的退出状态

请注意，当与local结合使用时（如local *variable*="$(*command*)"），情况并非如此。即使*command*失败，该表单也将成功退出。
以Bash脚本为例：

#!/bin/bash

function funWithLocalAndAssignmentTogether() {
    local output="$(echo "Doing some stuff.";exit 1)"
    local exitCode=$?
    echo "output: $output"
    echo "exitCode: $exitCode"
}

function funWithLocalAndAssignmentSeparate() {
    local output
    output="$(echo "Doing some stuff.";exit 1)"
    local exitCode=$?
    echo "output: $output"
    echo "exitCode: $exitCode"
}

funWithLocalAndAssignmentTogether
funWithLocalAndAssignmentSeparate

下面是它的输出：

nick.parry@nparry-laptop1:~$ ./tmp.sh 
output: Doing some stuff.
exitCode: 0
output: Doing some stuff.
exitCode: 1

这是因为local实际上是一个内置命令，像local *variable*="$(*command*)"这样的命令在 * 替换*command*的输出后调用local *。因此，您可以从local获取退出状态。

我昨天（2018年8月29日）遇到了同样的问题。
除了在Nick P.'s answer中提到的local和@sevko在accepted answer中的评论外，全局范围内的declare也有相同的行为。
下面是我的Bash代码：

#!/bin/bash

func1()
{
    ls file_not_existed
    local local_ret1=$?
    echo "local_ret1=$local_ret1"

    local local_var2=$(ls file_not_existed)
    local local_ret2=$?
    echo "local_ret2=$local_ret2"

    local local_var3
    local_var3=$(ls file_not_existed)
    local local_ret3=$?
    echo "local_ret3=$local_ret3"
}

func1

ls file_not_existed
global_ret1=$?
echo "global_ret1=$global_ret1"

declare global_var2=$(ls file_not_existed)
global_ret2=$?
echo "global_ret2=$global_ret2"

declare global_var3
global_var3=$(ls file_not_existed)
global_ret3=$?
echo "global_ret3=$global_ret3"

输出：

$ ./declare_local_command_substitution.sh 2>/dev/null 
local_ret1=2
local_ret2=0
local_ret3=2
global_ret1=2
global_ret2=0
global_ret3=2

注意上面输出中的local_ret2和global_ret2的值。退出代码被local和declare覆盖。
我的Bash版本：

$ echo $BASH_VERSION 
4.4.19(1)-release

(not对原始问题的答复，但太长，无法评论）
注意，export A=$(false); echo $?输出0！显然，devnull's answer中引用的规则不再适用。为这句话添加一点上下文（强调我的）：
3.7.1简单的命令扩展
...
如果在展开后还有命令名，则执行将按 * 如下所述 * 进行。否则，命令退出。如果其中一个扩展包含命令替换，则命令的退出状态是执行的最后一个命令替换的退出状态。如果没有命令替换，则命令以零状态退出。
3.7.2命令搜索和执行[ - this is the“below”case]
IIUC手册将var=foo描述为var=foo command...语法的特殊情况（非常混乱！“最后命令替换的退出状态”规则仅适用于无命令的情况。
虽然很容易将export var=foo视为“修改的赋值语法”，但事实并非如此-export是一个内置命令（只是碰巧接受类似赋值的参数）。
=>如果要导出var AND capture命令替换状态，请分两个阶段执行：

A=$(false)
# ... check $?
export A

这种方式也适用于set -e模式-如果命令替换返回非0，则立即退出。