你的逻辑有点不对，试试这个：

$('#check').change(function () {
  $('#btncheck').prop("disabled", !this.checked);
}).change()

请注意，禁用时按钮的UI不会更新，但disabled属性会更改。您可能希望添加一些CSS样式，以使按钮明显被禁用。
另外，我更改了代码，使用change事件而不是click，以更好地满足使用键盘导航的用户的需求。
下面是一个完整的工作示例，包括上述修改：

$('#check').change(function() {
  $('#btncheck').prop("disabled", !this.checked);
});

.form input[type="checkbox"] label {
  background: #000;
  height: 30px;
  border: none;
}

.form .button {
  cursor: pointer;
  display: block;
  background: rgba(46, 204, 113, 1.0);
  width: 180px;
  margin: 0 auto;
  margin-bottom: 40px;
  padding: 16px 0;
  border: none;
  border-radius: 100px;
  color: #fff;
  font-family: 'Open Sans';
  font-size: 16px;
  font-weight: 600;
  text-transform: uppercase;
  transition: 0.2s linear;
}

.form .button[disabled] {
  background-color: rgba(128, 128, 128);
  pointer-events: none;
}

.form .button:hover {
  background: rgba(46, 204, 113, 0.5);
}

<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jquery/3.3.1/jquery.min.js"></script>
<div class="form">
  <form>
    <div class="field">
      <label for="username">Name</label>
      <input id="username" name="username" type="text" value="Vorname Nachname">
    </div>
    <div class="field">
      <label for="email">E-Mail Adresse</label>
      <input id="email" name="email" type="email" value="ihre@email.com">
    </div>
    <div class="field">
      <label for="password">Handicap</label>
      <input id="password" name="password" type="text" value="z.B. 3">
    </div>
    <div class="field">
      <label for="rpassword">Gäste</label>
      <input id="rpassword" name="rpassword" type="text" value="z.B. 2">
    </div>
    <div class="checkbox">
      <input id="check" name="checkbox" type="checkbox">
      <label for="checkbox">Ich bin einverstanden dass mich die Leute kontaktieren</label>
    </div>
    <input type="submit" name="anmelden" class="button" id="btncheck" value="Anmelden" disabled />
  </form>
</div>

在更改处理程序上尝试：

$(function() {
  var chk = $('#check');
  var btn = $('#btncheck');

  chk.on('change', function() {
    btn.prop("disabled", !this.checked);//true: disabled, false: enabled
  }).trigger('change'); //page load trigger event
});

<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/1.9.1/jquery.min.js"></script>
<div class="checkbox">
  <input id="check" name="checkbox" type="checkbox">
  <label for="check">Some Text Here</label><!-- for must be the id of input -->
</div>
<input type="submit" name="anmelden" class="button" id="btncheck" value="Send" />

您需要更新属性，因此使用.prop()而不是.attr()

$('#check').click(function() {
    $('#btncheck').prop("disabled", this.checked == false);
});

一本好书.prop() vs .attr()

$('#btncheck').attr("disabled",true);  //Initially disabled button when document loaded.
$('#check').click(function(){
    $('#btncheck').attr("disabled",!$(this).is(":checked"));   
})

当你点击复选框.is(":checked")时，如果选中它，返回true，否则返回false。根据您的复选框按钮的选择，它将启用/禁用按钮。

Demo

if语句中的条件不正确。请用途：

$('#check').click(function(){
 if(!$(this).is(':checked')){
    $('#btncheck').attr("disabled","disabled");   
 }else
    $('#btncheck').removeAttr('disabled');
 });

Demo

使用if($(this ).prop( "checked" ))，而不是if($(this).attr('checked') == false)
http://jsfiddle.net/0hvtgveh/4/

$('#check').click(function(){

if($(this ).prop( "checked" )){
     $('#btncheck').attr("disabled","disabled");   
}
else
    $('#btncheck').removeAttr('disabled');
});

这需要一点逻辑：

$(function(){
      const button = $('#submit'); // The submit input id 
      button.attr('disabled', 'disabled');
      $('#checkbox').change(function() { // The checkbox id 
          if (this.checked){
            button.removeAttr('disabled')
            .css("cursor", "pointer");
          } else {
            button.attr('disabled', 'disabled')
            .css( "cursor", "not-allowed" );
          }
      });
  });

记住将你的css Submit Button属性设置为cursor: not-allowed;，这样就可以在页面加载时禁用它。
PS：这段代码位于页面底部。如果您有一个单独的文件，请不要忘记将其 Package 起来：
$(document).ready(function() { // code goes here });

我相信另一种处理这个问题的方法是使用document.getElementById：

if($(this).prop("checked")) {
    document.getElementById('#btncheck').disabled = false;
} else {
    document.getElementById('#btncheck').disabled = true;
}