SqlQuery返回一个IEnumerable，该IEnumerable将在枚举查询时执行查询。您是在关闭连接后枚举它的，因此它会在关闭连接后尝试执行查询。
在关闭连接之前使用ToList（）可以修复它，因为它会在调用该连接时枚举它。即：

var formatos = context.Database.SqlQuery<string>(
            $@"SELECT xdescripcion
             FROM vc00_formatos a
             left join pds_etiquetas c on a.xdescripcion=c.Nombre and {padre_id}=c.PadreId and c.tipo = 'Val'
             where c.id is null
             order by xdescripcion").ToList();
        context.Database.CloseConnection();

https://learn.microsoft.com/en-us/dotnet/api/system.data.entity.database.sqlquery?view=entity-framework-6.2.0

您需要将formatos放入List

• 还应该正确地参数化查询
• 您应该使用Async函数，但旧EF似乎不提供SqlQueryAsync。

public async Task<IActionResult> Refresh_Formatos()
{            
    using (var context = _context)
    {
        var padre_id = context.Database.SqlQuery<int>(
            @"SELECT id
             FROM pds_etiquetas
             where nombre = 'FORMATOS'
               and tipo = 'Cat'
             ").First();
       
        var formatos = context.Database.SqlQuery<string>(
            @"SELECT xdescripcion
             FROM vc00_formatos a
             left join pds_etiquetas c on a.xdescripcion=c.Nombre and @padre_id = c.PadreId and c.tipo = 'Val'
             where c.id is null
             order by xdescripcion",
           new SqlParameter("@padre_id", SqlDbType.Int) { Value = padre_id }
           ).ToList();

        foreach (var formato in formatos)
        {
            var affectedRows = await context.Database.ExecuteSqlAsync(
                @"INSERT INTO imp.pds_etiquetas
                      (Nombr, Tipo, PadreId)
                  VALUES (@formato, 'Val', @padre_id)
                ",
                new SqlParameter("@padre_id", SqlDbType.Int) { Value = padre_id },
                new SqlParameter("@formato", SqlDbType.VarChar, 250) { Value = formato }
           );
        }
    }                        
    return Ok();            
}

话虽如此，你不需要做任何这些，你可以只做一个大的加入INSERT。
您还可以将LEFT JOIN更改为NOT EXISTS，并且应该使用新的上下文而不是现有的上下文。

public async Task<IActionResult> Refresh_Formatos()
{            
    using var context = new YourContextHere();
    var affectedRows = await context.Database.ExecuteSqlAsync(@"
INSERT INTO imp.pds_etiquetas
  (Nombr, Tipo, PadreId)
SELECT
  a.xdescripcion,
  'Val',
  p.id
FROM pds_etiquetas p
CROSS JOIN vc00_formatos a
where p.nombre = 'FORMATOS'
  and P.tipo = 'Cat'
  AND NOT EXISTS (SELECT 1
    FROM pds_etiquetas c
    WHERE a.xdescripcion = c.Nombre
      and p.id = c.PadreId
      and c.tipo = 'Val'
);
  ");
    return Ok();            
}