根据OP的评论：

• mailing.sh不应调用checking_file.sh，但应“读取”checking_file.sh的输出
• 一种方法是让checking_file.sh将其输出写入文件…
• 修改checking_file.sh以将其输出写入文件
• 修改mailing.sh读取上述文件的内容

对OP的当前代码进行最小的更改：

$ cat checking_file.sh
#!/bin/bash

filepath="/home/documents/hello.txt"

if [ -f "$filepath" ]; then
   echo "file exists"
else
   echo "file not exists"
fi > /home/documents/checking_file.out               # write output to file


$ cat mailing.sh
#!/bin/bash

#output=$(/home/documents/checking_file.sh)
output=$(cat /home/documents/checking_file.out)      # read output from file

if [ "$output" = "file not exists" ]; then
   echo "trigger mail to developer"
else
   echo "file is available in time no mail needed"
fi

注意事项：

• OP可能希望向mailing.sh添加一些逻辑，以验证checking_file.out是否确实存在
• OP可能希望向mailing.sh添加一些逻辑来删除/重命名checking_file.out，以便重复运行mailing.sh不会再次处理相同的checking_file.out

解决OP关于不修改checking_file.sh的评论/问题……
在不修改checking_file.sh的情况下，我们可以让调用将所有输出定向到一个文件，例如：

$ /home/documents/checking_file.sh > /home/documents/checking_file.out 2>&1