为1990年的机器设定了回归之路。
Bash根据POSIX P1003.2d9（大约1990年）实现了$[]语法，这是发布的P1003.2-1992的草案。在草案和标准之间的两年时间里，POSIX已经确定了ksh 88 $(())的语法和行为。Chet Ramey（bash维护者）说，back in 2012：
Bash...实现了$[...]，因为当时没有其他语法，并获得了一些在shell中进行算术扩展的操作经验。Bash-1.14...列出了两种形式的算术扩展，但是到1995年bash-2.0发布时，手册只提到了$（（...））形式。
这表明$[]形式是 * 实验性的 *，它具有某些行为（如大括号扩展），当POSIX采用$(())语法时，这些行为被指定为遗忘。这些实验行为被保留了下来，因为已经有脚本依赖于它们（记住已经过去了两年多）。
Chet在同一个线程中明确表示，$[]已经过时，但并没有被弃用：
现在，继续拖动$[...]语法几乎没有任何问题。它只需要几十个字节的代码。我不打算删除它。
current POSIX standard, C.2.6 Word Expansions > Arithmetic Expansion提到了语法（重点是我的）：
在早期的提案中，使用了$[expression]的形式。它在功能上等同于当前文本中的“$（（））”，但有人提出反对意见，认为1988年的KornShell已经实现了“$（（））”，没有令人信服的理由再发明另一种语法。此外，“$[]”语法在case语句中的模式方面有一个小的不兼容性。
因此，bash中实现的行为并不完全符合规范，但由于没有删除它的计划，如果它能巧妙地解决您的问题，我认为没有理由放弃它的好处。然而，正如@Barmar的评论所指出的，注解代码并将其链接到这里是一个好主意，这样未来的开发人员就知道你的意思了！

$(())用于算术表达式，而大括号扩展在算术中不进行。
创建一个循环数组：

for i in {1..10}
do
    vals=()
    for j in {1..10}
    do
        vals+=($((i*j)))
    done
    printf "%4d" ${vals[@]}
done

printf %4d $(({1..10}*i))
由于bash中展开参数的顺序，因此不起作用。大括号展开（{}）比算术展开（$(())）早完成bash。你的代码肯定会工作，如果它是相反的方式。
从man bash：
展开的顺序是：撑条膨胀;波浪号扩展、参数和变量扩展、算术扩展和命令替换（以从左到右的方式完成）;字分裂;和路径名扩展。

遇到过这样的狂欢这个问题要求解释，而不是解决方案，但这里将是一个$（（））-表达这一点的方式。

for i in {1..10}; do
  printf %4d $(eval echo '$(('{1..10}'*i))')
  echo
done

像参数展开一样，在算术展开中禁止大括号展开。
(bash手册）
为避免与参数展开发生冲突，字符串“${”不适合大括号展开，并且在结束“}”之前禁止大括号展开。