• “My suspicion is that the syntax in the jsonString is incorrect."* 关闭，这是代码的问题之一。

JSON编码字符串！

AddJsonBody期望一个将被自动序列化的对象-请参阅文档。您所做的实际上是对字符串进行JSON编码，因此请求将永远无法将其反序列化到您的期望。
你应该做的是传递一个具有所有预期属性的对象。您可以使用匿名对象或具体类作为请求主体：

var body = new {
    auth = new {
        username = "LXPApi1",
        apikey = "442807b35e250ec767221fe3ba",
        mode = "live"
    }
};
request.AddJsonBody(body);

带正文的GET请求

您正在发送一个GET请求，并试图在请求中包含一个对GET请求无效的正文。很有可能你应该发送一个POST请求。
不幸的是，API Documentation (in German)显示了一个GET请求，大多数（如果不是全部的话）HTTP客户端都不支持该请求，并且可能不包括请求的主体，即使您已经设置了它。

旁注

• 我建议您永远不要手动创建JSON，并且始终利用现有的JSON序列化工具将对象转换为JSON。
• 永远不要在问题中暴露任何凭据。

你正在错误地建立请求这里是一个很好的调用，但未授权。

ServicePointManager.SecurityProtocol = SecurityProtocolType.Tls12;
    var options = new RestClientOptions("https://api.letterxpress.de")
    {
        UseDefaultCredentials = true,
        //ThrowOnAnyError = true,
        //MaxTimeout = 1000,
    };
    using (RestClient client = new RestClient(options))
    {
        string jsonString = "{" +
        "\"auth\": {" +
            "\"username\" : \"LXPApi1\"," +
            "\"apikey\" : \"442807b35e250ec767221fe3ba\"," +
            "\"mode\" : \"live\"" +
        "}" + "}";

        JsonConvert.DeserializeObject(jsonString).Dump();
        var request = new RestRequest("/v2/balance", Method.Get)
            .AddHeader("Content-Type", "application/json")
            .AddBody(jsonString);
        var response = client.ExecuteAsync(request).Result;
        Console.Write(response.Content);
        
    }

仍然没有授权，正如你提到的-代码运行wwith Postman 请求请添加 Postman 请求x1c 0d1x的屏幕截图