找到P12上P13矢量的projection，P13与投影的矢量差将是垂直矢量。

P12 = p2-p1
P13 = p3-p1

proj_13over12 = np.dot(P13, P12)*P12/norm(P12)**2 # array([6.88073394, 0.        , 2.06422018])
perpendicular = proj_13over12 - P13

print(perpendicular) # [ 0.88073394  3.         -2.93577982]

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的数据

python
import numpy as np

def distance_point_to_line(p1, p2, p3):
    v = p2 - p1
    w = p3 - p1
    proj_w_v = np.dot(w, v) / np.dot(v, v) * v
    u = w - proj_w_v
    d = np.linalg.norm(u)
    p = p3 - u
    return d, p

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我会给予OP's solution一个稍微改变的解。这是因为在OP的解决方案中，他们称之为proj_13over12的含义缺失。我们从投影中想要的实际上是位于由p1和p2定义的直线上的点，当将该点与p3连接时，该点创建了一个垂直于该向量的向量。在p1 = (0,0,0)的特殊情况下，我们得到了这个结果，但是当点移动时，值不会改变。例如，对于给定的点，垂直点位于[6.88073394, 0., 2.06422018]。但是如果我们在每个方向上将所有的点平移1，我们应该得到一个垂直的点，它被平移了相同的量，但是我们没有。

import numpy as np
from numpy.linalg import norm

p1 = np.array([0, 0, 0]) + 1
p2 = np.array([10, 0, 3]) + 1
p3 = np.array([6, -3, 5]) + 1

P12 = p2-p1
P13 = p3-p1

proj_13over12 = np.dot(P13, P12)*P12/norm(P12)**2 
print(proj_13over12) # still [6.88073394, 0., 2.06422018]

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我将使用一些不同的符号，这对我来说更有意义。首先，连接p1到p2的 vector 将被称为v1（对于向量1），连接p1到p2的向量将被称为v2。投影的结果将被称为projv2_v1（这在某种程度上反映了被投影到的向量是单词“proj”的下标的常见符号）。垂直点称为pperp。
我们使用方程v1 (v1 dot v2)/norm(v1)^2计算投影，也可以写成v1 (v1 dot v2)/(v1 dot v1)。（数学插曲：投影是有效的，因为v1/norm(v1)给出了v1方向上的单位向量，而(v1 dot v2)/norm(v1)给出了v2方向上的向量的大小。）现在，在计算投影之后，通过将p1加回去来找到pperp（我们通过与p1取差来创建向量，基本上将所有内容都转换到原点，因此这一步转换回空间中的实际位置）。然后通过找到连接p1到pperp的向量的范数来找到距离。有了这些变化，结果都有简单的物理解释。

import numpy as np
from numpy.linalg import norm

p1 = np.array([0,0,0])
p2 = np.array([10,0,3])
p3 = np.array([6, -3, 5])

v1 = p2 - p1
v2 = p3 - p1
projv2_v1 = np.dot(v1,v2)*v1/np.dot(v1, v1)
pperp = projv2_v1 + p1
print(pperp) # [6.88073394, 0., 2.06422018]
dist = norm(pperp - p3)
print(dist)  # 4.28888043816146

型

的数据
现在，如果我们像以前一样平移所有的点，我们得到pperp = [7.88073394, 1., 3.06422018]，这是有意义的，因为它也会平移相同的量。