循环次数太多了，因为range(1,n+1)将迭代n次，但是你已经包含了第一项（3），所以你只需要n-1附加项。
请注意，您不需要为n==1设置例外，如果范围为空，循环将根本不会迭代。
考虑到这一点，再加上一点代数，函数可以简化为：

def approximate_pi(n):
    return 3 - 2 * sum((-1)**i/i/(2*i+1)/(2*i+2) for i in range(1,n))

字符串
这里，符号是使用数学技巧来计算的，该技巧利用负数的奇/偶幂的行为。偶数次幂为1，奇数次幂为1。使用这个，(-1)**i产生附加项的交替符号。由于我们使用的是从1开始的i值，因此我们将获得每个项的反符号，但这很容易通过从3中减去总和而不是相加来处理。
分子（4）通过除以i而不是(2*i)而减少为2，然后在和之外分解。

你有太多的循环。当你调用approximate_pi(2)时，你会得到三次计算的结果。第一个值在循环外部设置为值3。下一个值是3+4/(2*3*4)，第三个值是3+4/(2*3*4)-4/(4*5*6)。range(1, n+1)应为range(1, n)。
现在你甚至不需要n == 1的特殊情况了。

def approximate_pi(n):
    sign = 1
    number = 2
    approx_pi = 3
    for _ in range(1, n):
        approx_pi = approx_pi + sign * (4 / (number * (number + 1) * (number + 2)))
        sign *= -1
        nnumber += 2
    return approx_pi

for i in range(1, 5):
    print(approximate_pi(i))

字符串
这将给您提供结果：

3
3.1666666666666665
3.1333333333333333
3.145238095238095

型
我将counter变量重命名为_，因为它现在没有使用。
如果你觉得计数器变量应该用于某些东西，那么你可以从它计算符号。;）

def approximate_pi(n):
    number = 2
    approx_pi = 3
    for i in range(1, n):
        approx_pi = approx_pi + ((-1) ** (i+1)) * (4 / ((number) * (number + 1) * (number + 2)))
        number += 2
    return approx_pi

型
当然，您可以对number采取类似的方法。这会给予你这样的东西：

def approximate_pi(n):
    approx_pi = 3
    for i in range(1, n):
        approx_pi = approx_pi + ((-1) ** (i+1)) * (4 / (i*2)/(i*2+1)/(i*2+2))
    return approx_pi

型