试试这个：

$("select[name='cars'] option[value='mercedes']").prop('checked', true)

demo
只要按一下里面按钮。

把这个添加到你的button元素中：

onclick="document.getElementById('mercedes').checked = true"

不改变html和给id，这本身将是一个好主意。
纯JS：

window.onload=function() {
  document.querySelector("button").onclick=function() {
    document.getElementsByName("vehicle")[2].checked=true;
  }
}

jQuery：
DEMO

$(function() {
  $("button").on("click",function() {
    $("input[value='mercedes']").prop("checked",true);
  });
});

你可以这样使用jquery：

<form>
<input type="checkbox" name="vehicle" value="volvo">Volvo XC90<br>
<input type="checkbox" name="vehicle" value="bmw">BMW 325i<br> 
<input type="checkbox" id="slk" name="vehicle" value="mercedes">Mercedes SLK
</form>
<button id="checkSlk" type="button">Check Mercedes SLK</button> 

<script type="text/javascript">
    $(function () {
        $("#checkSlk").on("click", function () {
            if ($("#slk").is(':checked')) {
                $("#slk").attr("checked", false);
            } else {
                $("#slk").attr("checked", true);
            }
        });
    });
</script>

纯JavaScript解决方案-

function selectVehicleCheckboxByValue(valueData) {
    if(document.querySelector('input[type="checkbox"][name="vehicle"][value="'+valueData+'"]').checked !== true){
        document.querySelector('input[type="checkbox"][name="vehicle"][value="'+valueData+'"]').checked = true;
    }else{
        document.querySelector('input[type="checkbox"][name="vehicle"][value="'+valueData+'"]').checked = false;
    }
}

<form action="">
  <input type="checkbox" name="vehicle" value="volvo">Volvo XC90<br>
  <input type="checkbox" name="vehicle" value="bmw">BMW 325i<br> 
  <input type="checkbox" name="vehicle" value="mercedes">Mercedes SLK
</form>

<button type="button" onclick="selectVehicleCheckboxByValue('volvo')">Volvo XC90</button> 
<button type="button" onclick="selectVehicleCheckboxByValue('bmw')">BMW 325i</button> 
<button type="button" onclick="selectVehicleCheckboxByValue('mercedes')">Check Mercedes SLK</button>