你必须使用Safari的回调函数，因为它不返回Promise。
根据MDN：
这使用了promise-version的方法，就像最近的实现（例如Firefox 47）所支持的那样。如果你想支持旧版本，你可能必须使用旧的回调版本，它看起来像这样：
下面是他们给出的示例代码：

Notification.requestPermission(function (permission) {
    // If the user accepts, let's create a notification
    if (permission === "granted") {
        var notification = new Notification("Hi there!");
    }
});

为了支持Safari通知，这是我最终的结果：

try {
        Notification.requestPermission()
            .then(() => doSomething())                                                                                                                                               
    } catch (error) {
        // Safari doesn't return a promise for requestPermissions and it                                                                                                                                       
        // throws a TypeError. It takes a callback as the first argument                                                                                                                                       
        // instead.
        if (error instanceof TypeError) {
            Notification.requestPermission(() => {                                                                                                                                                             
                doSomething();
            });
        } else {
            throw error;                                                                                                                                                                                       
        }                                                                                                                                                                                                      
    }

更好的解决方案是将结果 Package 在Promise中，然后 then（没有双关语）运行代码。此代码适用于所有浏览器（包括Safari），并且没有复杂的if块（概念在this question中详细讨论）

Promise.resolve(Notification.requestPermission()).then(function(permission) {
    // Do something
});

这是因为Promise.resolve对Promise没有任何作用，但会将Safari requestPermission()转换为Promise。
请注意，iOS Safari仍然不支持通知API，因此您需要check if it is available first

要返回一个promise，该promise在用户赠款或拒绝显示通知的权限之前不会解析：

if (!permissionPromise && Notification.permission === 'granted' ) {
            permissionPromise = Promise.resolve(Notification.permission);
        }
        if (!permissionPromise) {
            permissionPromise = new Promise(function (resolve, reject) {
                // Safari uses callback, everything else uses a promise
                var maybePromise = $window.Notification.requestPermission(resolve, reject);
                if (maybePromise && maybePromise.then) {
                    resolve(maybePromise);
                }
            });
        }
        return permissionPromise;

过时问题的现代解决方案：

new Promise((resolve) => {
   Notification.requestPermission(resolve)?.then(resolve);
}).then(permission => console.log(permission))

Safari只接受第一个回调，忽略?.then(...)。Chrome和FF可能会两次解决promise，但这并不重要。
与大多数投票的答案不同，这个答案没有两次请求权限，这在我的Safari v13.1.2中打开了2个权限弹出窗口。

async function requestPermission() {
  return new Promise((resolve) => {

    const timeoutId = setInterval(() => {
      if (Notification.permission === 'granted') {
        handleComplete(Notification.permission);
      }
    }, 3000);

    const handleComplete = (permission) => {
      clearInterval(timeoutId);
      resolve(permission);
    };

    Notification.requestPermission(handleComplete)?.then?.(handleComplete);
  });
}