您的代码：

data.split("\n").forEach(d => transferFiles(d));

将开始所有的转移，并立即返回，而不等待任何一个被做。你展示的代码没有能力真正知道它们什么时候完成，也没有能力看到最终的计数是多少，因为你没有跟踪所有事情都完成的时间。
我建议使用await fs.promises.cp(...)，这是该函数的承诺版本，然后您可以await每一个并按顺序执行它们，并且更容易知道它们何时完成。不要在异步代码中使用.forEach()，因为它不是promise感知的，不会尊重promise。相反，只使用普通的for循环或for/of循环，这两种循环都是promise和await友好的。
而且，当您使用它时，您也可以切换到const data = await fs.promises.readFile(...)，这样您就可以始终使用promise来管理您的异步操作，而不是普通的回调。最好不要将promise与普通回调混合在一起。
下面是如何用promise对这些操作进行排序：

const fsp = fs.promises;

async function readFileContents() {
    const data = await fsp.readFile("F:/Some Folder/FileNames.txt", "utf8");
    const files = data.split("\n");
    let count = 0;
    for (let file of files) {
        await transferFile(file);
        ++count;
    }
    return count;
}

async function transferFiles(fileName) {
    try {
        await fsp.cp(
            `F:/Some Folder/Origin Folder/${fileName}`,
            `F:/Some Folder/Target Folder/${fileName}`
        );
        console.log(`Transferred ${fileName}`);
    } catch(err) {
        console.log(err);
        throw err;
    }        
}

readFileContents()的调用者将收到一个promise，该promise将解析为复制的文件数量的计数，否则将拒绝并返回一个错误。调用者可以在返回的promise上使用await或.then()来获取计数。