请考虑以下代码：
x = np.array([1, 5, 6, 10]) # an unstructured coordinate
f = x**2 # function value on the points x
grad1 = np.gradient(f, x) # df/dx
grad2 = np.gradient(f) / np.gradient(x) # df/di * di/dx = df/dx根据链式法则，我会期望grad1=grad2。上面注解中的i只是一个统一的“索引“。经过测试，这个等式对于简单的线性函数是成立的，但对于例如。x**2如上所示。我现在想知道是否有一个理论上的原因，为什么链式法则不应该普遍适用于由有限差分估计的导数。
我认为问题在于以下观察：np.gradient通常不假定输入坐标x是均匀的。但我认为链式法则的这个表达式是这样的，我怀疑它隐含在调用np.gradient(x)中。当我们用非均匀x调用np.gradient(f, x)时，我们实际上是在为每个内部点执行插值，而不是真正的中心差分。
1条答案
按热度按时间g2ieeal71#
不，我不希望
grad1等于grad2，因为间距不均匀。具有非均匀间距的一阶导数的二阶中心差分方程如np.gradient文档所示。当你没有指定间距时，numpy会假设一个恒定的间距（正如你所说的），并使用与该假设一致的简化公式，即。f' = (f[1:] - f[:-1])/(2h)（忽略端点）。当您尝试像前面那样执行导数时，最终得到f' = (f[1:] - f[:-1])/(x[1:] - x[:-1])（再次忽略端点）。这不等同于非均匀方程，因为权重不正确。因此，你的结果是错误的。