当给变量赋值时，存储在变量中的是模式本身（backup_myserver_20231015[0-9]*.log），而不是它对现有文件名的扩展，因为1）你给它加了双引号（引号之间不进行路径名扩展），2）路径名扩展从不在参数赋值的右侧进行。
验证所有这些的一个简单方法是输入declare -p log_file，看看log_file是什么以及它有什么值。您还可以键入echo "$log_file"（打印模式）和echo $log_file（打印文件名（如果存在）），因为$log_file没有引号，并且在执行echo之前执行了路径名扩展。
一个更好的方法是分配一个数组，使用不带引号的模式，并打开nullglob选项，这样如果没有匹配的日志文件，模式将扩展为空字符串（输出前缀为-|）：

shopt -s nullglob
log_file=( backup_${hostname_arg}_${logfile_sunday}[0-9]*.log )
if (( ${#log_file[@]} == 0 )); then
  printf 'no log files\n'
else
  printf '%s\n' "${log_file[@]}"
fi
-| backup_myserver_202310152100.log
-| backup_myserver_202310152101.log
...

如果你想精确匹配4位数，你可以试试：

$ log_file=( backup_${hostname_arg}_${logfile_sunday}[0-2][0-9][0-5][0-9].log )

你也可以使用来自GNU findutils的find，如果你有的话，用正则表达式代替更简单的glob模式：

find . -maxdepth 1 -regextype gnu-awk -type f -regex "\./backup_${hostname_arg}_${logfile_sunday}[0-9]{4}\.log"

你的指挥似乎很好

find -maxdepth 1 -type f -name  "backup_myserver_[0-9]*.log"

我试着把它放在一个小的shell脚本中，它也能工作。

#!/bin/bash
expr='backup_myserver_[0-9]*.log'
result=$(find ./ -maxdepth 1 -type f -name "${expr}")
echo $result

Code result of shell script