使用and代替or。
在您的行业中：

while x != False or start != "":

字符串
你对python说，你想运行直到第一个或第二个条件为真。因为第二个条件总是为真，while将永远运行。
更简单：

while x and start:

型

我的代码：

import random as r

print(
"""
        Welcome to the Custom Counter!
    
    Type in your starting value and your
    ending value. Then, enter the amount
    by which to count.
""")

while True:
    
    try:
        start = int(input("Starting number: "))
        fin = int(input("Ending number: "))
        amount = int(input("Count by: "))
    
    except ValueError as verr:
        
        print('error : ', verr,'\n restarting ....')
        
    else:
        
        break
        
   
result = r.randrange(start, fin, amount)    
print('result : ' ,result)

input("Hit enter to exit.")

字符串
这一个我相信考虑到输入非int s和从头开始程序时，遇到这样的输入。
请参见try语句为一组语句指定异常处理程序和/或清理代码
PS你的代码不处理无效值（即fin < start）