您的源代码不是正确的JSON。
由于AWK不理解JSON，你也应该停止把JSON看作是一个字符串。
类似这样的操作将获得特定示例的预期结果

BEGIN{
  FS="{"
  key="RunName"

}
{
for (i=1; i<=NF; i++){
    if ($i~key) {
      mykey=$i

      # ----- first variant ------ correct json
      # match on    "value":"mystringhere"
      c=match(mykey, /"value":"([^"]*)/, arr)
      if (c>1){
        print "\""key"\""
        print arr[1]
      }

      # ----- second variant ----- quoted json
      # match on   \"value\":\"mystringhere\"
      c=match(mykey, /\\"value\\":\\"([^\\]*)/, aq)
      if (c>1){
        print "\""key"\""
        print aq[1]
      }
     } # if
    } #forloop
} #actions

字符串